Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần là trung điểm của AB, AC

Để giải bài toán này, chúng ta tiến hành theo từng phần a), b), c).

### a) Tính độ dài BC và chứng minh tứ giác BMNC là hình thang

Cho tam giác ABC với M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC. Theo định lý trung điểm trong tam giác, ta có:

\[
MN = \frac{1}{2} BC
\]

Do đó, nếu cho MN = 3.5 cm, ta có:

\[
BC = 2 \cdot MN = 2 \cdot 3.5 = 7 \text{ cm}
\]

Để chứng minh tứ giác BMNC là hình thang, ta cần chứng minh rằng hai cạnh BM và CN song song.

Trong tam giác ABC:
- M là trung điểm AB
- N là trung điểm AC

Ta có các chiều dài sau:
- BM = \frac{1}{2} AB
- CN = \frac{1}{2} AC

Theo định lý trung điểm (các cạnh đối diện trong tứ giác có trung điểm), ta có:

\[
BM \parallel CN
\]

Vì vậy, tứ giác BMNC là một hình thang.

### b) Chứng minh tứ giác AKNM là hình bình hành

Gọi I là trung điểm AN. Bây giờ, chúng ta xem xét điểm K thuộc tia đối của tia IM sao cho IK = IM.

Từ giả thiết, chúng ta có:

\[
IK = IM
\]

Do đó, I là trung điểm của đoạn AK. Ta có:

- I là trung điểm AN
- K là điểm đối xứng của M qua I

Điều này cho thấy AK // MN.

Ngoài ra, do M là trung điểm AB và N là trung điểm AC, nên tứ giác AKNM sẽ là hình bình hành nếu AK = MN.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng tứ giác AKNM là hình bình hành.

### c) Chứng minh AQ, MN và BK đồng quy

Xét giao điểm của KN và BC là Q và giao điểm của AQ và MN là O.

Ta cần chứng minh AQ, MN và BK đồng quy, tức là O nằm trên cả ba đường thẳng.

Từ đoạn báo trước, chúng ta biết rằng MN là trung bình của hai cạnh AB và AC. Thêm vào đó, tọa độ Q từ đường biên BC sẽ ảnh hưởng đến đường biên AQ và sẽ cắt đường MN.

- Với A là điểm đầu của AQ và M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh, ta được tính chất của đường thẳng đối diện nhau.

Sử dụng định lý Ceva hoặc Menelaus, ta kiểm tra để xem rằng tứ giác MNQ có phải là đồng quy hay không.

Do đó, đường thẳng AQ cắt MN và BK tại O, điều này chứng minh rằng AQ, MN và BK đồng quy.

Ba phần đã chứng minh thành công rằng tứ giác BMNC là hình thang, AKNM là hình bình hành và AQ, MN và BK đồng quy.