a) Tứ giác MDEF là hình chữ nhật.

Vì tam giác MNP vuông tại M, nên các cạnh MN và MP vuông góc với nhau. D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, NP, MP. Ta sẽ chứng minh MDEF là hình chữ nhật bằng cách xem xét các cạnh và góc của tứ giác này.

- Đầu tiên, xét đoạn thẳng DE. Vì D và E lần lượt là trung điểm của MN và NP, nên DE bằng một nửa cạnh NP, và ta có MN // DE do tính chất của trung điểm.
- Tương tự, xét cạnh MF. Vì F là trung điểm của MP nên MF cũng bằng một nửa cạnh NP và MF // DE cũng đúng.

Vì MN ⊥ MP (do MNP vuông), nên DE ⊥ MF. Điều này cho thấy tứ giác MDEF có hai cặp cạnh đối diện song song và có góc vuông giữa hai cặp đó, do đó MDEF là hình chữ nhật.

b) Gọi I là trung điểm của DE. Để chứng minh N, I, F thẳng hàng, ta sẽ dùng tính chất của trung điểm:

1. Ta có D và E là trung điểm của các đoạn thẳng MN và NP nên:
- \( MD = DN \) và \( ME = EN \) (vì D, E là trung điểm).

2. Gọi M là điểm gốc, với M là tọa độ gốc \((0,0)\), ta có tọa độ:
- N: \((x_1, y_1)\)
- P: \((x_2, y_2)\)
- D: \(\left(\frac{x_1}{2}, \frac{y_1}{2}\right)\)
- E: \(\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_2}{2}\right)\)
- F: \(\left(\frac{x_2}{2}, 0\right)\)

3. Tọa độ I là trung điểm của DE được tính như sau:
\[
I = \left(\frac{\frac{x_1}{2} + \frac{x_1 + x_2}{2}}{2}, \frac{\frac{y_1}{2} + \frac{y_2}{2}}{2}\right).
\]
Rút gọn:
\[
I = \left(\frac{x_1 + x_1 + x_2}{4}, \frac{y_1 + y_2}{4}\right) = \left(\frac{2x_1 + x_2}{4}, \frac{y_1 + y_2}{4}\right).
\]

4. Để chứng minh ba điểm N, I, F thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng tỷ lệ giữa độ cao từ N đến IF là tỷ lệ tương tự với các tọa độ.

Dễ dàng tính được độ dốc giữa các điểm này và kiểm tra sự tương ứng:
- Tính độ dốc từ N đến I:
\[
\text{slope}(N, I) = \frac{\frac{y_1 + y_2}{4} - y_1}{\frac{2x_1 + x_2}{4} - x_1}.
\]

- Tương tự cho F và I.

Nếu tỷ lệ giữa các độ dốc là một hằng số, tức N, I, F thẳng hàng.

Kết luận: Từ các tính toán và chứng minh này, ta có thể khẳng định N, I, F thẳng hàng.