Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a. Vẽ đường kính \(BOD\) và \(COE\):

1. **Vẽ đường tròn \((O)\) và \((O')\)**: Chúng ta sẽ có hai đường tròn tiếp xúc tại điểm \(A\).
2. **Kẻ tiếp tuyến chung ngoài \(BC\)**: Dựng tiếp tuyến từ \(B\) và \(C\) tới hai đường tròn tại các điểm tiếp xúc tương ứng.
3. **Vẽ đường kính \(BOD\)**: Chúng ta chọn \(D\) là điểm trên đường tròn \((O)\) sao cho \(B\), \(O\), \(D\) thẳng hàng.
4. **Vẽ đường kính \(COE\)**: Tương tự, chọn \(E\) trên đường tròn \((O')\) sao cho \(C\), \(O'\), \(E\) thẳng hàng.
5. **Chứng minh các điểm \(B\), \(A\), \(E\) và \(C\), \(A\), \(D\) thẳng hàng**:
- Sử dụng tính chất của các đường kính trong đường tròn.

### b. Chứng minh rằng diện tích \(\Delta BAC\) và \(\Delta DAE\) có diện tích bằng nhau:

1. **Xét hai tam giác \(\Delta BAC\) và \(\Delta DAE\)**:
- Hai tam giác này có chung cạnh \(AB = AD\), và cạnh \(AC = AE\) do tính chất của kích thước các tiếp tuyến từ một điểm ra ngoài.
2. **Chứng minh bằng cách sử dụng công thức diện tích và tính chất của các tam giác**.

### c. Gọi \(K\) là trung điểm của \(DE\):

1. **Xétửa đường tròn ngoại tiếp \(\Delta DOKO\)** (với \(O'\)):
- Chúng ta vẽ đường tròn ngoại tiếp qua ba điểm \(D, O, K\).
2. **Chứng minh đường tròn này tiếp xúc với \(BC\)**:
- Sử dụng các tính chất của tiếp tuyến trong hình học để chứng minh rằng đường tròn này sẽ tiếp tục tiếp xúc tại một điểm trên đường thẳng \(BC\).

Trên đây là các bước và cách giải quyết cho bài toán này. Nếu cần chi tiết hơn về từng bước tính toán hay hình vẽ, bạn có thể sử dụng hình vẽ để minh họa và giải thích thêm.