Một đội công nhân A và B làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Khi làm chung được 8 ngày thì đội A được điều động đi làm việc khác, đội B tiếp tục làm phần việc còn lại. Kể từ khi làm việc mình, đội cải tiến cách làm nên năng suất của đội B tăng gấp đôi, do đội B đã hoàn thành phần việc còn lại trong 8 ngày tiếp theo. Hỏi với năng suất ban đầu thì mỗi đội làm một mình sẽ hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Để giải bài toán, chúng ta ký hiệu:

- \( x \): thời gian mà đội A làm việc một mình (số ngày).
- \( y \): thời gian mà đội B làm việc một mình (số ngày).

### Bước 1: Tính tổng công việc

Cả hai đội dự định hoàn thành công việc trong 12 ngày, nghĩa là:

\[
\text{Công việc} = 12 \cdot (L_A + L_B)
\]

Trong đó \( L_A \) và \( L_B \) lần lượt là năng suất của đội A và B.

### Bước 2: Tính công việc đã làm

Sau 8 ngày làm việc chung, công việc đã hoàn thành là:

\[
8 \cdot (L_A + L_B)
\]

Sau đó, đội A dừng làm việc, đội B tiếp tục làm phần việc còn lại. Phần việc còn lại là:

\[
12 \cdot (L_A + L_B) - 8 \cdot (L_A + L_B) = 4 \cdot (L_A + L_B)
\]

### Bước 3: Tính công việc làm của đội B

Đội B cải tiến năng suất và gấp đôi lên, tức là năng suất mới là \( 2L_B \). Thời gian mà đội B hoàn thành công việc còn lại (4 ngày) là:

\[
\frac{4 \cdot (L_A + L_B)}{2L_B} = 8 \quad \Rightarrow \quad 4 \cdot (L_A + L_B) = 16L_B
\]

=> Giải phương trình:

\[
L_A + L_B = 4L_B \quad \Rightarrow \quad L_A = 3L_B
\]

### Bước 4: Tính thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội

Thay \( L_A \) vào phương trình ban đầu:

\[
x = \frac{C}{L_A} = \frac{C}{3L_B} \quad \text{(thời gian A)}
\]

\[
y = \frac{C}{L_B}
\]

### Bước 5: Kết luận

Từ \( L_A = 3L_B \), suy ra:

\[
x = \frac{12 \cdot (L_A + L_B)}{L_A} = 36 \quad \text{(đội A làm việc một mình)}
\]
\[
y = \frac{12 \cdot (L_A + L_B)}{L_B} = 12 \quad \text{(đội B làm việc một mình)}
\]

Kết luận, đội A nếu làm việc một mình sẽ hoàn thành công việc trong 36 ngày, đội B sẽ hoàn thành trong 12 ngày.