Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng phần một cách chi tiết.

a) **Chứng minh rằng tứ giác ADME là hình chữ nhật**:

- Trong tam giác vuông \( \Delta ABC \), ta có \( AB \perp AC \) (định nghĩa của tam giác vuông tại A).
- Vì \( MD \perp AB \) và \( ME \perp AC \), nên \( \angle ADM = \angle AEM = 90^\circ \).
- Hơn nữa, vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( AM \) là đoạn nối từ đỉnh đến trung điểm cạnh huyền.
- Từ đó, \( AD \parallel ME \) và \( AM \parallel DE \).
- Do đó, tứ giác \( ADME \) có các góc vuông và các cạnh đối song song, suy ra \( ADME \) là hình chữ nhật.

b) **Chứng minh \( CMDE \) là hình bình hành**:

- Ta đã biết \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Để chứng minh \( CMDE \) là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng các cạnh đối song song.
- Ta có \( DM \parallel CE \) và \( CM \parallel DE \) (bởi vì \( MD \) và \( ME \) đều vuông góc với các cạnh của tam giác).
- Vì vậy, \( CMDE \) là hình bình hành.

c) **Vẽ AH vuông góc với BC tại H**:

- Từ định nghĩa, nếu \( AH \perp BC \), tức là \( H \) là hình chiếu của \( A \) lên \( BC \).
- Tứ giác \( MHDE \) có \( H \) nằm trên \( BC \) và do \( MD \) và \( ME \) vuông góc với \( AB \) và \( AC\), nên tứ giác này sẽ có các cạnh nhau song song.

d) **Tìm điểm K**:

- Qua \( A \), vẽ đường thẳng song song với \( DH \), cắt \( DE \) tại \( K \) và cắt \( AC \) tại \( N \).
- Ta cần chứng minh rằng \( HN^2 = NA \cdot CN \).
- Đây chính là hệ thức hình học nổi tiếng trong tam giác, khi \( H \) là hình chiếu của điểm \( A \) xuống cạnh \( BC \).
- Như vậy, \( HN \) là trung bình nhân của hai đoạn \( NA \) và \( CN \).

Với các phân tích trên, hy vọng bạn có thể hoàn thành bài tập một cách dễ dàng!