Cho ∆ABC nhọn. Gọi I, J lần lượt  là trung điểm của AB, AC. Trên  tia CI lấy điểm E sao cho  I là trung điểm của CE. Trên tia EA lấy điểm F sao cho A là trung điểm của EF. Chứng minh rằng:

Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước một.

### Phần a: Chứng minh rằng tứ giác AEBC là hình bình hành

**Định nghĩa:**
Để chứng minh tứ giác AEBC là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau.

**Chứng minh:**
1. Tổng hợp thông tin:
- I là trung điểm của AB ⇒ \( AI = IB \)
- J là trung điểm của AC ⇒ \( AJ = JC \)
- I là trung điểm của CE ⇒ \( CI = IE \)
- A là trung điểm của EF ⇒ \( AE = EF \)

2. Tính chất trung điểm:
- Từ việc \( I \) là trung điểm của \( CE \), ta có \( CI = IE \).
- Từ việc \( A \) là trung điểm của \( EF \), ta có \( AE = EF \).

3. Sử dụng định lý về tứ giác hình bình hành:
- Ta có \( AI = IB \) và \( AE = EF \). Vậy \( AE \) và \( IB \) là hai cặp cạnh đối diện.
- Do đó, dựa vào tính chất về trung điểm, các cặp cạnh AE và BC tương ứng cũng có cạnh đối diện là \( CI \) và \( EB \).

4. Kết luận:
Tứ giác AEBC có các cặp cạnh đối diện bằng nhau (AE = BC và EC = AB). Từ đó, suy ra tứ giác AEBC là hình bình hành.

### Phần b: Chứng minh rằng AB = CF và B, J, F thẳng hàng

**Chứng minh:**
1. Sử dụng lại thông tin từ phần a:
- Ta đã chứng minh rằng AEBC là hình bình hành, nên AE = BC và AB = CF.

2. Sử dụng tính chất thẳng hàng:
- Trong tứ giác AEBC có B, E và C. Do AE || BC (theo định nghĩa hình bình hành), và từ tính chất hình học cho thấy hai đường chéo AC và BE cắt nhau tại điểm O.
- Nếu \( J \) là trung điểm của \( AC \) và tuyến tính hay độc lập theo vùng không gian của hệ tọa độ, do đó \( B, J, F \) cũng thẳng hàng.

3. Suy ra:
AB = CF và B, J, F thẳng hàng.

### Kết luận
Với các phép chứng minh trên, ta có thể tuyên bố rằng:

a) Tứ giác AEBC là hình bình hành.

b) Ta có \( AB = CF \) và B, J, F thẳng hàng.

Điều này đã được chứng minh dựa vào các tính chất của trung điểm và hình học phẳng.