Để khảo sát sự biến thiên của hàm số \( y = x^3 + 4x^2 + 4x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tìm đạo hàm

Tính đạo hàm của hàm số:
\[
y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 8x + 4
\]

### Bước 2: Tìm nghiệm của đạo hàm

Để khảo sát biến thiên, chúng ta cần tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình:
\[
3x^2 + 8x + 4 = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Trong đó:
- \( a = 3 \)
- \( b = 8 \)
- \( c = 4 \)

Tính discriminant:
\[
D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16
\]
\( D > 0 \) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\[
x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 4}{6}
\]

Tính các nghiệm:
\[
x_1 = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}
\]
\[
x_2 = \frac{-12}{6} = -2
\]

### Bước 3: Xét dấu của đạo hàm

Chúng ta sẽ phân tích dấu của \( y' = 3x^2 + 8x + 4 \) trên các khoảng xác định bởi các nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \).

- Chia trục số \( x \) thành các khoảng: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, -\frac{2}{3}) \), \( (-\frac{2}{3}, +\infty) \).

- Chọn một điểm đại diện trong mỗi khoảng để xét dấu của \( y' \).

1. **Khoảng \((- \infty, -2)\)**: Chọn \( x = -3 \)
\[
y'(-3) = 3(-3)^2 + 8(-3) + 4 = 27 - 24 + 4 = 7 > 0
\]

2. **Khoảng \((-2, -\frac{2}{3})\)**: Chọn \( x = -1 \)
\[
y'(-1) = 3(-1)^2 + 8(-1) + 4 = 3 - 8 + 4 = -1 < 0
\]

3. **Khoảng \((- \frac{2}{3}, +\infty)\)**: Chọn \( x = 0 \)
\[
y'(0) = 3(0)^2 + 8(0) + 4 = 4 > 0
\]

### Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến

- Hàm số \( y \) đồng biến trên khoảng \( (-\infty, -2) \)
- Hàm số \( y \) nghịch biến trên khoảng \( (-2, -\frac{2}{3}) \)
- Hàm số \( y \) đồng biến trên khoảng \( (-\frac{2}{3}, +\infty) \)

### Bước 5: Tìm giá trị hàm tại điểm cực trị

Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị:
- Tại \( x = -2 \):
\[
y(-2) = (-2)^3 + 4(-2)^2 + 4(-2) = -8 + 16 - 8 = 0
\]

- Tại \( x = -\frac{2}{3} \):
\[
y(-\frac{2}{3}) = \left(-\frac{2}{3}\right)^3 + 4\left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 4\left(-\frac{2}{3}\right)
\]
\[
= -\frac{8}{27} + 4 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} = -\frac{8}{27} + \frac{16}{9} - \frac{72}{27}
\]
\[
= -\frac{8}{27} + \frac{48}{27} - \frac{72}{27} = -\frac{32}{27}
\]

### Bước 6: Vẽ đồ thị

Dựa trên các thông tin trên, độ biến thiên của hàm số sẽ có dạng:
- Cực đại tại \( x = -2 \) với \( y = 0 \)
- Cực tiểu tại \( x = -\frac{2}{3} \) với \( y = -\frac{32}{27} \)

### Tóm tắt

- Khi \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \)
- Tại \( x = -2 \): Cực đại \( y = 0 \)
- Tại \( x = -\frac{2}{3} \): Cực tiểu \( y = -\frac{32}{27} \)
- Khi \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \)

Hàm số có hình dạng giống như một đường cong lên xuống với một cực đại và một cực tiểu.