Trong không gian 2 vecto, vecto a và vecto b cùng có độ dài bằng 1 và góc giữa 2 vecto đó bằng 45 độ giá trị của tích vô hướng

Để tìm giá trị của tích vô hướng \( ( \mathbf{a} + 3\mathbf{b} ) \cdot ( \mathbf{a} - 2\mathbf{b} ) \), chúng ta có thể sử dụng tính chất của tích vô hướng. Chúng ta mở rộng biểu thức này như sau:

\[
( \mathbf{a} + 3\mathbf{b} ) \cdot ( \mathbf{a} - 2\mathbf{b} ) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + 3\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} - 6\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}
\]

Chúng ta biết rằng:
- \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 = 1^2 = 1 \quad (\text{vì độ dài của } \mathbf{a} = 1) \)
- \( \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{b}|^2 = 1^2 = 1 \quad (\text{vì độ dài của } \mathbf{b} = 1) \)
- \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta = 1 \cdot 1 \cdot \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Thay các yếu tố đó vào, ta có:

\[
( \mathbf{a} + 3\mathbf{b} ) \cdot ( \mathbf{a} - 2\mathbf{b} ) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 6 \cdot 1
\]

Tính toán từng phần:

1. \( 1 - 6 = -5 \)
2. \( -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{-2 + 3}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Kết hợp cả hai phần lại:

\[
( \mathbf{a} + 3\mathbf{b} ) \cdot ( \mathbf{a} - 2\mathbf{b} ) = -5 + \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

Cuối cùng, chúng ta có:

\[
( \mathbf{a} + 3\mathbf{b} ) \cdot ( \mathbf{a} - 2\mathbf{b} ) = -5 + \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

Để đưa ra giá trị gần đúng, khoảng \( -5 + 0.707 \) (vì \( \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \)) tương đương với khoảng:

\[
\approx -4.293
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
( \mathbf{a} + 3\mathbf{b} ) \cdot ( \mathbf{a} - 2\mathbf{b} ) = -5 + \frac{1}{\sqrt{2}}
\]