Để giải bài toán này, chúng ta định nghĩa:

- Gọi số chi tiết máy mà người thứ nhất dự định làm là \( x \).
- Gọi số chi tiết máy mà người thứ hai dự định làm là \( 500 - x \).

Theo đề bài:

- Người thứ nhất hoàn thành 80% công việc: \( 0.8x \).
- Người thứ hai hoàn thành 90% công việc: \( 0.9(500 - x) \).

Tổng số chi tiết đã hoàn thành là 420, ta có phương trình:

\[
0.8x + 0.9(500 - x) = 420.
\]

Giải phương trình này:

1. Nở rộng phương trình:

\[
0.8x + 450 - 0.9x = 420.
\]

2. Gộp các hạng tử lại:

\[
-0.1x + 450 = 420.
\]

3. Chuyển 450 sang bên phải:

\[
-0.1x = 420 - 450.
\]

4. Tính toán:

\[
-0.1x = -30 \quad \Rightarrow \quad x = 300.
\]

Bây giờ, ta tìm số chi tiết mà từng người hoàn thành:

- Người thứ nhất làm được:

\[
0.8x = 0.8 \times 300 = 240 \text{ chi tiết}.
\]

- Người thứ hai làm được:

\[
0.9(500 - x) = 0.9 \times (500 - 300) = 0.9 \times 200 = 180 \text{ chi tiết}.
\]

### Kết luận:
- Người thứ nhất đã làm được 240 chi tiết máy.
- Người thứ hai đã làm được 180 chi tiết máy.