Để tìm số tự nhiên \( x \) sao cho biểu thức \( A = \frac{\sqrt{x-7}}{\sqrt{x+2}} \) nhận giá trị nguyên, ta thực hiện theo các bước sau:

### Bước 1: Xác định điều kiện

Biểu thức \( A \) có nghĩa khi:
- \( x - 7 \geq 0 \) ⇒ \( x \geq 7 \)
- \( x + 2 > 0 \) ⇒ \( x > -2 \)

Kết hợp hai điều kiện trên, ta có \( x \geq 7 \).

### Bước 2: Đặt \( A \) là số nguyên

Gọi \( A = k \) (với \( k \) là số nguyên):
\[
\frac{\sqrt{x-7}}{\sqrt{x+2}} = k
\]

### Bước 3: Phân tích phương trình

Từ đó, ta có:
\[
\sqrt{x-7} = k \sqrt{x+2}
\]

Bình phương hai vế:
\[
x - 7 = k^2 (x + 2)
\]
Sắp xếp lại:
\[
x - k^2 x = 7 + 2k^2
\]
\[
x(1 - k^2) = 7 + 2k^2
\]
\[
x = \frac{7 + 2k^2}{1 - k^2} \text{ (với } k \neq 1)
\]

### Bước 4: Điều kiện tồn tại và tính giá trị

Xét giới hạn \( x \geq 7 \):
\[
\frac{7 + 2k^2}{1 - k^2} \geq 7
\]
Giải bất phương trình này:
\[
7 + 2k^2 \geq 7(1 - k^2)
\]
\[
7 + 2k^2 \geq 7 - 7k^2
\]
\[
9k^2 \geq 0
\]
Điều này luôn đúng với mọi giá trị của \( k \).

### Bước 5: Xét các giá trị nguyên của \( k \)

Bây giờ xét các giá trị nguyên cho \( k \):
- Với \( k = 0 \):
\[
x = \frac{7 + 0}{1 - 0} = 7
\]
- Với \( k = 2 \):
\[
x = \frac{7 + 2*2^2}{1 - 2^2} = \frac{7 + 8}{1 - 4} = \frac{15}{-3} \text{ (không hợp lệ)}
\]

- Với \( k = -1 \):
\[
x = \frac{7 + 2*(-1)^2}{1 - (-1)^2} = \frac{7 + 2}{1 - 1} \text{ (không hợp lệ)}
\]
- Với \( k = 1 \) (không làm được như đã nêu ở bước 3).

Từ các giá trị trên:
- Ta chỉ tìm được \( x = 7 \) với \( k = 0 \) là giá trị làm cho \( A \) nhận giá trị nguyên.

### Kết luận

Số tự nhiên \( x \) để biểu thức \( A \) nhận giá trị nguyên là \( x = 7 \).