Để tính giá trị của \( I = \int_{-2}^{3} f(x) \, dx \), ta cần xác định phương trình của parabol \( y = f(x) = ax^2 + bx + c \).

Từ đồ thị đã cho, ta có thể tìm các điểm đặc biệt trên trục hoành và trục tung. Giả sử parabol có 3 điểm mà ta biết rõ tọa độ:

- Điểm A: (-2, 0)
- Điểm B: (0, 4)
- Điểm C: (3, 0)

Dựa vào các điểm này, ta sẽ thiết lập hệ phương trình để tìm các hệ số \( a \), \( b \), và \( c \).

1. Với điểm A (-2, 0):
\[
0 = a(-2)^2 + b(-2) + c \implies 4a - 2b + c = 0
\]

2. Với điểm B (0, 4):
\[
4 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 4
\]

3. Với điểm C (3, 0):
\[
0 = a(3)^2 + b(3) + c \implies 9a + 3b + 4 = 0
\]

Thay \( c \) vào phương trình của điểm A:
\[
4a - 2b + 4 = 0 \implies 4a - 2b = -4 \implies 2a - b = -2 \quad (1)
\]

Thay \( c \) vào phương trình của điểm C:
\[
9a + 3b + 4 = 0 \implies 9a + 3b = -4 \implies 3a + b = -\frac{4}{3} \quad (2)
\]

Giải hệ phương trình (1) và (2):
Từ (1) ta có:
\[
b = 2a + 2 \quad (3)
\]

Thay (3) vào (2):
\[
3a + (2a + 2) = -\frac{4}{3} \implies 5a + 2 = -\frac{4}{3}
\]

Chuyển hạng tử:
\[
5a = -\frac{4}{3} - 2 = -\frac{4}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{10}{3} \implies a = -\frac{2}{3}
\]

Thay \( a \) vào (3) để tìm \( b \):
\[
b = 2(-\frac{2}{3}) + 2 = -\frac{4}{3} + 2 = \frac{2}{3}
\]

Vậy ta có:
\[
a = -\frac{2}{3}, \quad b = \frac{2}{3}, \quad c = 4
\]

Phương trình của parabol là:
\[
f(x) = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + 4
\]

Tiếp theo, tính tích phân \( I \):
\[
I = \int_{-2}^{3} f(x) \, dx = \int_{-2}^{3} \left( -\frac{2}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + 4 \right) dx
\]

Tính từng phần:
\[
I = -\frac{2}{3}\int_{-2}^{3} x^2 dx + \frac{2}{3}\int_{-2}^{3} x \, dx + \int_{-2}^{3} 4 \, dx
\]

- Tính \( \int x^2 \, dx \) từ -2 đến 3:
\[
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{-2}^{3} = \frac{27}{3} - \frac{-8}{3} = 9 + \frac{8}{3} = \frac{27 + 8}{3} = \frac{35}{3}
\]

- Tính \( \int x \, dx \) từ -2 đến 3:
\[
\int x \, dx = \frac{x^2}{2} \Big|_{-2}^{3} = \frac{9}{2} - \frac{4}{2} = \frac{9 - 4}{2} = \frac{5}{2}
\]

- Tính \( \int 4 \, dx \) từ -2 đến 3:
\[
\int 4 \, dx = 4x \Big|_{-2}^{3} = 4(3) - 4(-2) = 12 + 8 = 20
\]

Thay vào công thức tính \( I \):
\[
I = -\frac{2}{3}\cdot \frac{35}{3} + \frac{2}{3}\cdot \frac{5}{2} + 20 = -\frac{70}{9} + \frac{10}{6} + 20
\]
Chuyển đổi tất cả về mẫu 9:
\[
I = -\frac{70}{9} + \frac{15}{9} + \frac{180}{9} = \frac{-70 + 15 + 180}{9} = \frac{125}{9}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:
\[
I = \frac{125}{9}
\]