Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bài ôn tập chương I

Bài 11 (trang 46 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.

c) Xác định m sao cho độ dài MN nhỏ nhất.

d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của C cắt hai tiệm cận của C tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số:

- TXĐ: D = R \ (-1)

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

Hàm số luôn nghịch biến trên D.

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

=> Đồ thị có tiệm cận đứng là x = -1.

=> Đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

+ Giao với Ox: (-3; 0)

+ Giao với Oy: (0; 3)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = 2x + m là:

Dễ thấy x = -1 không là nghiệm của phương trình (1).

Ta có: Δ = (m + 1)² - 8(m - 3) = m² - 6m + 25

Δ = (m - 3)² + 16 > 0 ∀ m

=> Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác -1.

Vậy đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M và N.

c) Giả sử M(x₁; y₁), N(x₂; y₂) với x₁, x₂ là nghiệm của phương trình (1) và y₁ = 2x₁ + m, y₂ = 2x₂ + m.

MN nhỏ nhất ⇔ MN² nhỏ nhất bằng 20.

Dấu "=" xảy ra ⇔ m - 3 = 0 ⇔ m = 3

Khi đó độ dài MN nhỏ nhất = √20 = 2√5

d) Gọi S(x_o; y_o) ∈ (C).

Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại S là:

- Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng x = -1 là:

- Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang y = 1 là: Q(2x_o + 1; 1).

- Trung điểm của PQ là I(x₁; y₁) có tọa độ là:

Suy ra S(x_o; y_o) chính là trung điểm của PQ (đpcm).