Chương 3: Phương trình và hệ phương trình

Luyện tập (trang 85)

Bài 26 (trang 85 sgk Đại Số 10 nâng cao): Giải và biện luận các phương trình sau (m và a là các tham số)

a)(2x + m – 4)(2mx – x + m) = 0;

b)|mx + 2x – 1| = | x|;

c) (mx + 1). √(x – 1)= 0;

d) (2a – 1)/(x – 2) = a – 2 ;

Lời giải:

a)Đặt phương trình : (2x + m – 4)(2mx – x + m) = 0 là phương trình (1)

Nếu 2m – 1 = 0 ⇔ m = 1/2 ⇒ (b) vô nghiệm, do đó :

(1) ⇔ (a) ⇔ x = (4 – m)/2 = (4 – 1/2)/2 = 7/4

Nếu 2m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1/2 ⇒ (b) ⇔ x = m/(1 – 2m)

Kết luận : m = 1/2, (1) có hai nghiệm x₁ = (4 – m)/2; x₂ = m/(1 – 2m) (chú ý trường hợp này có thể x₁ = x₂).

b)Đặt phương trình : |mx + 2x – 1| = |x| là phương trình (2)

⇒Ta có sự biện luận sau :

Khi m ≠ -1 và m ≠ -3, phương trình (2) có các nghiệm x = 1/(m + 1), x= 1/(m + 3)

Khi m = -1 phương trình (2) có nghiệm x = 1/2. Khi m = -3 phương trình (2) có nghiệm x = -1/2

c)Đặt phương trình : (mx + 1) √(x – 1) = 0 là phương trình (3)

Điều kiện xác định : ∀ x, x ≥ 1.

Nếu m = 0 ⇒Phương trình mx = -1 vô nghiệm

⇒(3) có một nghiệm x = 1

Nếu m ≠ 0 ta có : mx = - 1 ⇔ x = -1/m, giá trị này chỉ là nghiệm của (3)

⇔ -1/m ≥ 1 ⇔ (-m – 1).m ≥ 0 ⇔ -1 ≤ m < 0

Vậy : Phương trình có hai nghiệm x = 1, x = -1/m khi -1 < m < 0

Phương trình có nghiệm x= 1 khi m ≤ -1 hoặc m ≥ 0

d)Gọi phương trình : (2a – 1)/(x – 2) = a – 2 là phương trình (4).

Điều kiện xác định của (4) là : ∀ x ∈ R, x ≠ 2. Khi đó :

Nếu a = 2 thì (d) vô nghiệm , do đó (4) vô nghiệm

Nếu a ≠ 2 thì (d) có nghiệm x = (4a – 5)/(a – 2) , giá trị này chỉ là nghiệm của (4) khi và chỉ khi (4a – 5)/(a – 2) ≠ 2 ⇔ a ≠ 1/2

Vậy :

a = 2 hoặc a = 1/2 thì (4) vô nghiệm

a ≠ 2 và a ≠ 1/2 thì (4) có nghiệm x = (4a – 5)/(a – 2)

e)Đặt phương trình ((m+1)x+m-2)/(x+3) = m là phương trình (5). Khi đó, điều kiện xác định của phương trình là : ∀ x ∈ R, x ≠ -3. Với điều kiện đó thì (5) ⇔ x = 2m + 2, giá trị này là nghiệm của (5) khi và chỉ khi 2m + 2 ≠ -3 ⇔ m ≠ -5/3. Do đó :

m = -5/2, (5) vô nghiệm

m ≠ -5/2, (5) có nghiệm duy nhất x = 2m + 2

f)Đặt phương trình :

Khi đó điều kiện xác định của (6) là : ∀ x ∈ R, x ≠ 1. Ta thấy, nếu a < 0 thì (6) vô nghiệm.

Xét a ≥ 0,

⇔ 1 = -a hoặc 2ax = a – 1

⇔ 2ax = a – 1

Biện luận :

Nếu a = 0 thì (6) vô nghiệm

Nếu a > 0, (6) có nghiệm duy nhất x = (a – 1)/2a khi và chỉ khi (a – 1)/2a ≠ 1 hay (6) có nghiệm duy nhất x= (a – 1)/2a (vì a > 0 thì (a – 1)/2a ≠ 1).

Kết luận : a ≤ 0, (6) vô nghiệm

a > 0, (6) có nghiệm duy nhất x = (a – 1)/2a.