a) Để chứng minh đường thẳng d luôn cắt § tại hai điểm phân biệt, ta cần xét hệ số của đường thẳng d. Ta có:

• Đường thẳng d có phương trình y = (m-1)x + m^2 + 1.
• Đường parabol có phương trình y = x^2.
• Để tìm điểm giao của § và (d), ta giải hệ phương trình:

x^2 = (m-1)x + m^2 + 1

Tức là: x^2 - (m-1)x - m^2 - 1 = 0.

• Để đường thẳng d cắt § tại hai điểm phân biệt, ta cần Δ > 0. Từ đó suy ra:

Δ = (m-1)^2 + 4(m^2 + 1) > 0

Tức là: 5m^2 - 2m - 3 > 0.

• Điều kiện trên tương đương với (-3/5) < m < 1. Vậy với mọi m thuộc đoạn (-3/5, 1), đường thẳng d sẽ cắt § tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi x1, x2 là hoành độ của hai điểm giao của (d) và §. Ta có:

• Đường thẳng d có phương trình y = (m-1)x + m^2 + 1.
• Đường parabol có phương trình y = x^2.
• Ta giải hệ phương trình:

x^2 = (m-1)x + m^2 + 1

Tức là: x^2 - (m-1)x - m^2 - 1 = 0.

• Theo đề bài, x1 và x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình trên. Từ đó suy ra:

x1 + x2 = m-1 và x1x2 = -(m^2 + 1)

• Thay x1x2 = -(m^2 + 1) vào phương trình x1 + x2 = m-1, ta được:

x1 + x2 = -√(m^2 + 1)

• Từ đó suy ra:

x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2 = m^2 + 2√(m^2 + 1)

• Thay x1x2 = -(m^2 + 1) vào phương trình x1(x2 + 4) + x2(x1 + 4) = -12, ta được:

(x1 + x2)^2 + 8(x1 + x2) - 16 = 0