Để chứng minh các kết quả đã cho, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

### 1) Chứng minh DB vuông góc với HE và E là trực tâm của tam giác DBH.

**Chứng minh DB vuông góc với HE:**

- Ta có \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), do đó \( H \) nằm trên các đường cao của tam giác \( ABC \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( HM \) là đường trung bình của tam giác \( BHC \), và \( HM \) vuông góc với \( AH \) (vì \( AH \) là đường cao).
- Đường thẳng qua \( H \) vuông góc với \( HM \) cắt \( AB \) tại \( E \) và cắt \( AC \) tại \( F \). Do đó, \( HE \) và \( HF \) đều vuông góc với \( HM \).

Xét tam giác \( HBC \):
- \( H \) là trực tâm, nên \( BK \) và \( CN \) là các đường cao.
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( HM \) là đường trung bình của tam giác \( HBC \).

Xét tam giác \( DBH \):
- \( D \) nằm trên tia đối của tia \( HC \) và \( HD = HC \), do đó \( D \) là điểm đối xứng của \( C \) qua \( H \).
- Vì \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), nên \( H \) cũng là trực tâm của tam giác \( DBC \).

Do đó, \( DB \) là đường cao của tam giác \( DBH \) và \( DB \) vuông góc với \( HE \).

**Chứng minh E là trực tâm của tam giác DBH:**

- Ta đã chứng minh \( DB \) vuông góc với \( HE \).
- \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), nên \( H \) nằm trên các đường cao của tam giác \( ABC \).
- \( E \) là giao điểm của đường thẳng qua \( H \) vuông góc với \( HM \) và \( AB \), do đó \( E \) là trực tâm của tam giác \( DBH \).

### 2) Chứng minh HE = HF.

- Ta đã biết \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), do đó \( H \) nằm trên các đường cao của tam giác \( ABC \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( HM \) là đường trung bình của tam giác \( BHC \).
- Đường thẳng qua \( H \) vuông góc với \( HM \) cắt \( AB \) tại \( E \) và cắt \( AC \) tại \( F \).

Xét tam giác \( HBC \):
- \( H \) là trực tâm, nên \( BK \) và \( CN \) là các đường cao.
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( HM \) là đường trung bình của tam giác \( HBC \).

Do đó, \( HE \) và \( HF \) đều là các đoạn thẳng vuông góc với \( HM \) và có cùng độ dài. Vì vậy, \( HE = HF \).

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.