Để giải bài 1, chúng ta cần tìm số tự nhiên \( n \) có 2 chữ số sao cho \( 2n + 1 \) và \( 3n + 1 \) đều là các số chính phương.

Giả sử \( 2n + 1 = a^2 \) và \( 3n + 1 = b^2 \) với \( a \) và \( b \) là các số nguyên dương.

Từ \( 2n + 1 = a^2 \), ta có:
\[ 2n = a^2 - 1 \]
\[ n = \frac{a^2 - 1}{2} \]

Từ \( 3n + 1 = b^2 \), ta có:
\[ 3n = b^2 - 1 \]
\[ n = \frac{b^2 - 1}{3} \]

Vì \( n \) là số tự nhiên, nên \( \frac{a^2 - 1}{2} = \frac{b^2 - 1}{3} \). Do đó:
\[ 3(a^2 - 1) = 2(b^2 - 1) \]
\[ 3a^2 - 3 = 2b^2 - 2 \]
\[ 3a^2 - 2b^2 = 1 \]

Bây giờ, ta cần tìm các cặp số nguyên dương \( (a, b) \) thỏa mãn phương trình này và kiểm tra xem \( n \) có phải là số tự nhiên có 2 chữ số hay không.

Thử các giá trị nhỏ của \( a \) và \( b \):

1. Với \( a = 1 \):
\[ 3(1)^2 - 2b^2 = 1 \]
\[ 3 - 2b^2 = 1 \]
\[ 2b^2 = 2 \]
\[ b^2 = 1 \]
\[ b = 1 \]
\[ n = \frac{1^2 - 1}{2} = 0 \] (không thỏa mãn vì \( n \) không có 2 chữ số)

2. Với \( a = 2 \):
\[ 3(2)^2 - 2b^2 = 1 \]
\[ 12 - 2b^2 = 1 \]
\[ 2b^2 = 11 \] (không có giá trị nguyên của \( b \))

3. Với \( a = 3 \):
\[ 3(3)^2 - 2b^2 = 1 \]
\[ 27 - 2b^2 = 1 \]
\[ 2b^2 = 26 \]
\[ b^2 = 13 \] (không có giá trị nguyên của \( b \))

4. Với \( a = 4 \):
\[ 3(4)^2 - 2b^2 = 1 \]
\[ 48 - 2b^2 = 1 \]
\[ 2b^2 = 47 \] (không có giá trị nguyên của \( b \))

5. Với \( a = 5 \):
\[ 3(5)^2 - 2b^2 = 1 \]
\[ 75 - 2b^2 = 1 \]
\[ 2b^2 = 74 \]
\[ b^2 = 37 \] (không có giá trị nguyên của \( b \))

6. Với \( a = 6 \):
\[ 3(6)^2 - 2b^2 = 1 \]
\[ 108 - 2b^2 = 1 \]
\[ 2b^2 = 107 \] (không có giá trị nguyên của \( b \))

7. Với \( a = 7 \):
\[ 3(7)^2 - 2b^2 = 1 \]
\[ 147 - 2b^2 = 1 \]
\[ 2b^2 = 146 \]
\[ b^2 = 73 \] (không có giá trị nguyên của \( b \))

8. Với \( a = 8 \):
\[ 3(8)^2 - 2b^2 = 1 \]
\[ 192 - 2b^2 = 1 \]
\[ 2b^2 = 191 \] (không có giá trị nguyên của \( b \))

9. Với \( a = 9 \):
\[ 3(9)^2 - 2b^2 = 1 \]
\[ 243 - 2b^2 = 1 \]
\[ 2b^2 = 242 \]
\[ b^2 = 121 \]
\[ b = 11 \]
\[ n = \frac{9^2 - 1}{2} = \frac{81 - 1}{2} = 40 \]

Vậy \( n = 40 \) là số tự nhiên có 2 chữ số thỏa mãn điều kiện \( 2n + 1 \) và \( 3n + 1 \) đều là các số chính phương.