Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Tìm các cặp tam giác vuông đồng dạng và chứng minh:

Xét các tam giác vuông:
- Tam giác ABC vuông tại A.
- Tam giác ABH vuông tại H.
- Tam giác AHC vuông tại H.

Chúng ta sẽ chứng minh các tam giác này đồng dạng.

1. Tam giác ABH và tam giác ABC:
- Góc A là góc chung.
- Tam giác ABH và tam giác ABC đều có góc vuông tại H và A tương ứng.

Vậy, tam giác ABH ∼ tam giác ABC (góc-góc).

2. Tam giác AHC và tam giác ABC:
- Góc A là góc chung.
- Tam giác AHC và tam giác ABC đều có góc vuông tại H và A tương ứng.

Vậy, tam giác AHC ∼ tam giác ABC (góc-góc).

3. Tam giác ABH và tam giác AHC:
- Góc H là góc chung.
- Tam giác ABH và tam giác AHC đều có góc vuông tại H.

Vậy, tam giác ABH ∼ tam giác AHC (góc-góc).

b) Chứng minh các hệ thức:

1. \( AB^2 = BC \cdot BH \):

Từ tam giác ABH ∼ tam giác ABC, ta có:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB}
\]
Suy ra:
\[
AB^2 = BC \cdot BH
\]

2. \( AC^2 = BC \cdot CH \):

Từ tam giác AHC ∼ tam giác ABC, ta có:
\[
\frac{AC}{BC} = \frac{CH}{AC}
\]
Suy ra:
\[
AC^2 = BC \cdot CH
\]

3. \( AH^2 = BH \cdot CH \):

Từ tam giác ABH ∼ tam giác AHC, ta có:
\[
\frac{AH}{BH} = \frac{CH}{AH}
\]
Suy ra:
\[
AH^2 = BH \cdot CH
\]

4. \( AH \cdot BC = AB \cdot AC \):

Từ tam giác ABH ∼ tam giác ABC, ta có:
\[
\frac{AH}{AB} = \frac{AB}{BC}
\]
Suy ra:
\[
AH \cdot BC = AB^2
\]

Từ tam giác AHC ∼ tam giác ABC, ta có:
\[
\frac{AH}{AC} = \frac{AC}{BC}
\]
Suy ra:
\[
AH \cdot BC = AC^2
\]

Kết hợp hai kết quả trên, ta có:
\[
AH \cdot BC = AB \cdot AC
\]

Vậy, các hệ thức đã được chứng minh.