Để chứng minh đẳng thức \(\sin(a + B) = \sin a \cos B + \sin B \cos a\), chúng ta sẽ sử dụng công thức cộng của hàm số lượng giác. Công thức này là một trong những công thức cơ bản trong lượng giác và có thể được chứng minh bằng nhiều cách khác nhau, bao gồm cả phương pháp hình học và phương pháp đại số.

### Chứng minh bằng phương pháp đại số

1. **Công thức cộng của hàm sin:**
\[
\sin(a + B) = \sin a \cos B + \cos a \sin B
\]

2. **Chứng minh:**
- Để chứng minh công thức này, chúng ta có thể sử dụng công thức Euler cho các số phức. Công thức Euler cho biết rằng:
\[
e^{ix} = \cos x + i \sin x
\]
- Sử dụng công thức Euler, ta có:
\[
e^{i(a + B)} = e^{ia} \cdot e^{iB}
\]
- Mở rộng hai vế của phương trình trên:
\[
\cos(a + B) + i \sin(a + B) = (\cos a + i \sin a)(\cos B + i \sin B)
\]
- Nhân hai số phức ở vế phải:
\[
(\cos a + i \sin a)(\cos B + i \sin B) = \cos a \cos B + i \cos a \sin B + i \sin a \cos B - \sin a \sin B
\]
\[
= (\cos a \cos B - \sin a \sin B) + i (\sin a \cos B + \cos a \sin B)
\]
- So sánh phần thực và phần ảo của hai vế, ta có:
\[
\cos(a + B) = \cos a \cos B - \sin a \sin B
\]
\[
\sin(a + B) = \sin a \cos B + \cos a \sin B
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[
\sin(a + B) = \sin a \cos B + \cos a \sin B
\]

### Kết luận
Đẳng thức \(\sin(a + B) = \sin a \cos B + \sin B \cos a\) đã được chứng minh bằng cách sử dụng công thức Euler và các tính chất của số phức. Công thức này là một trong những công thức cơ bản và quan trọng trong lượng giác, được sử dụng rộng rãi trong nhiều bài toán và ứng dụng khác nhau.