Giải hệ phương trình

Để giải hệ phương trình sau:

1. \( xy + 2x^2 + y = y^2 - x \)
2. \( x^2 - y^2 = x - 2y \)

Chúng ta sẽ giải từng phương trình một và sau đó kết hợp các kết quả để tìm nghiệm chung.

**Bước 1: Giải phương trình thứ hai**

Phương trình thứ hai là:
\[ x^2 - y^2 = x - 2y \]

Chúng ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:
\[ (x - y)(x + y) = x - 2y \]

**Bước 2: Giải phương trình thứ nhất**

Phương trình thứ nhất là:
\[ xy + 2x^2 + y = y^2 - x \]

Chúng ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:
\[ xy + 2x^2 + y + x = y^2 \]
\[ xy + 2x^2 + y + x - y^2 = 0 \]

**Bước 3: Kết hợp hai phương trình**

Chúng ta sẽ thử một số giá trị cụ thể của \(x\) và \(y\) để tìm nghiệm chung.

**Giả sử \(x = y\)**

Nếu \(x = y\), thay vào phương trình thứ hai:
\[ x^2 - x^2 = x - 2x \]
\[ 0 = -x \]
\[ x = 0 \]
\[ y = 0 \]

Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào phương trình thứ nhất:
\[ 0 \cdot 0 + 2 \cdot 0^2 + 0 = 0^2 - 0 \]
\[ 0 = 0 \]

Vậy \(x = 0\) và \(y = 0\) là một nghiệm của hệ phương trình.

**Giả sử \(x \neq y\)**

Chúng ta sẽ thử một số giá trị khác của \(x\) và \(y\) để tìm nghiệm khác.

**Giả sử \(x = 1\) và \(y = -1\)**

Thay vào phương trình thứ hai:
\[ 1^2 - (-1)^2 = 1 - 2(-1) \]
\[ 1 - 1 = 1 + 2 \]
\[ 0 = 3 \]

Vậy \(x = 1\) và \(y = -1\) không phải là nghiệm.

**Giả sử \(x = 1\) và \(y = 2\)**

Thay vào phương trình thứ hai:
\[ 1^2 - 2^2 = 1 - 2 \cdot 2 \]
\[ 1 - 4 = 1 - 4 \]
\[ -3 = -3 \]

Thay vào phương trình thứ nhất:
\[ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1^2 + 2 + 1 = 2^2 \]
\[ 2 + 2 + 2 + 1 = 4 \]
\[ 7 = 4 \]

Vậy \(x = 1\) và \(y = 2\) không phải là nghiệm.

**Kết luận:**

Nghiệm duy nhất của hệ phương trình là:
\[ x = 0 \]
\[ y = 0 \]