Để chứng minh rằng:

\[ \frac{x^{2016}}{a^{1008}} + \frac{y^{2016}}{b^{1008}} = \frac{2}{(a+b)^{1008}}, \]

với điều kiện \( x^2 + y^2 = 1 \) và \( \frac{x^4}{a} + \frac{y^4}{b} = \frac{1}{a+b} \), ta làm như sau:

1. **Sử dụng điều kiện \( x^2 + y^2 = 1 \):**

Ta có \( x^2 + y^2 = 1 \).

2. **Sử dụng điều kiện \( \frac{x^4}{a} + \frac{y^4}{b} = \frac{1}{a+b} \):**

Ta có \( \frac{x^4}{a} + \frac{y^4}{b} = \frac{1}{a+b} \).

3. **Chứng minh đẳng thức cần chứng minh:**

Để chứng minh đẳng thức:

\[ \frac{x^{2016}}{a^{1008}} + \frac{y^{2016}}{b^{1008}} = \frac{2}{(a+b)^{1008}}, \]

ta có thể sử dụng phương pháp đặt \( x = \cos \theta \) và \( y = \sin \theta \) với \( \theta \) là một góc nào đó. Khi đó \( x^2 + y^2 = 1 \) luôn đúng.

Từ điều kiện \( \frac{x^4}{a} + \frac{y^4}{b} = \frac{1}{a+b} \), ta có:

\[ \frac{\cos^4 \theta}{a} + \frac{\sin^4 \theta}{b} = \frac{1}{a+b}. \]

Để chứng minh đẳng thức cần chứng minh, ta cần kiểm tra xem biểu thức:

\[ \frac{\cos^{2016} \theta}{a^{1008}} + \frac{\sin^{2016} \theta}{b^{1008}} \]

có bằng:

\[ \frac{2}{(a+b)^{1008}} \]

hay không.

Ta có thể sử dụng các tính chất của hàm số lượng giác và các phương pháp biến đổi đại số để chứng minh điều này. Tuy nhiên, do tính chất phức tạp của bài toán, ta cần kiểm tra kỹ lưỡng từng bước biến đổi để đảm bảo tính đúng đắn của chứng minh.

Một cách tiếp cận khác là sử dụng các bất đẳng thức và các tính chất của hàm số đối xứng để chứng minh đẳng thức này.