Để giải bài này, ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + my = 1 \\
x + 2y = 3
\end{cases}
\]

có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) mà \( x \) và \( y \) đều là số nguyên.

Bước 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Trừ phương trình hai cho phương trình một:

\[
(x + 2y) - (x + my) = 3 - 1
\]

\[
2y - my = 2
\]

\[
y(2 - m) = 2
\]

\[
y = \frac{2}{2 - m}
\]

Để \( y \) là số nguyên, thì mẫu số \( 2 - m \) phải là ước của 2. Các ước của 2 là: \( \pm 1, \pm 2 \).

Nên:

\[
2 - m = 1 \implies m = 1
\]

\[
2 - m = -1 \implies m = 3
\]

\[
2 - m = 2 \implies m = 0
\]

\[
2 - m = -2 \implies m = 4
\]

Vậy \( m \) có thể là các giá trị \( 0, 1, 3, 4 \).

Bước 2: Kiểm tra các giá trị này để đảm bảo cả \( x \) cũng là số nguyên.

1. Với \( m = 0 \):
\[
\begin{cases}
x + 0y = 1 \\
x + 2y = 3
\end{cases}
\]

Ta có:
\[
x = 1
\]

Thay vào phương trình 2:
\[
1 + 2y = 3 \implies 2y = 2 \implies y = 1
\]

Nghiệm \( (1, 1) \) thỏa mãn.

2. Với \( m = 1 \):
\[
\begin{cases}
x + y = 1 \\
x + 2y = 3
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này sẽ cho: \( x = -1, y = 2 \), nghiệm này thỏa mãn.

3. Với \( m = 3 \):
\[
\begin{cases}
x + 3y = 1 \\
x + 2y = 3
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này sẽ cho: \( x = 7, y = -2 \), nghiệm này thỏa mãn.

4. Với \( m = 4 \):
\[
\begin{cases}
x + 4y = 1 \\
x + 2y = 3
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này sẽ cho: \( x = 5, y = -1 \), nghiệm này thỏa mãn.

Do đó, các giá trị nguyên của \( m \) là \( 0, 1, 3, 4 \). Tổng cộng có 4 giá trị.

Vậy đáp án đúng là \( C. 4 \).