Để chứng minh các đẳng thức chia hết, chúng ta sẽ sử dụng một số định lý về tính chia hết và tính chất của lũy thừa.

### a) Chứng minh rằng \(5^{200} + 5^{199} + 5^{198}\) chia hết cho 31

Ta có thể viết lại biểu thức:

\[
5^{200} + 5^{199} + 5^{198} = 5^{198}(5^2 + 5 + 1)
\]

Giờ ta cần kiểm tra xem \(5^2 + 5 + 1\) chia hết cho 31 hay không.

Tính \(5^2 + 5 + 1\):

\[
5^2 = 25 \\
5^2 + 5 + 1 = 25 + 5 + 1 = 31
\]

Suy ra \(5^2 + 5 + 1 = 31\), tức là chia hết cho 31.

Do đó, \(5^{200} + 5^{199} + 5^{198}\) cũng chia hết cho 31.

### b) Chứng minh rằng \(3^{2001} + 3^{2000} + 3^{1999}\) chia hết cho 39

Ta cũng có thể viết biểu thức này lại:

\[
3^{2001} + 3^{2000} + 3^{1999} = 3^{1999}(3^2 + 3 + 1)
\]

Bây giờ ta cần xem \(3^2 + 3 + 1\):

\[
3^2 = 9 \\
3^2 + 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13
\]

Kiểm tra xem \(3^{1999}\) và \(39\):

Thực hiện phân tích thừa số:

\[
39 = 3 \times 13
\]

Trong \(3^{1999}\), rõ ràng nó chia hết cho 3. Chúng ta cần kiểm tra \(3^{1999}\)의 giá trị mod 13.

Sử dụng định lý Chuẩn mod:

\[
3^{12} \equiv 1 \mod 13 \quad (\text{theo Fermat})
\]

Đầu tiên, ta cần kiểm tra \(1999 \mod 12\):

\[
1999 \div 12 = 166 \implies 1999 \equiv 7 \mod 12
\]

Vậy \(3^{1999} \equiv 3^7 \mod 13\):

Tính \(3^7 \mod 13\):

\[
3^1 \equiv 3 \\
3^2 \equiv 9 \\
3^3 \equiv 27 \equiv 1 \mod 13 \quad (\text{kết quả sau 3 lũy thừa})
\]

Suy ra:

\[
3^6 \equiv 1 \implies 3^7 \equiv 3 \mod 13
\]

Kết hợp lại:

\[
3^{2001} + 3^{2000} + 3^{1999} \equiv 3 + 3 + 3 \equiv 9 \mod 13
\]

Vì \(9 \equiv 9 \mod 13\) và \(3^{1999}\) chia hết cho 3, nên:

\(3^{1999}(9) \) chia hết cho 39.

Vậy, \(3^{2001} + 3^{2000} + 3^{1999}\) cũng chia hết cho 39.

Kết luận:

a) \(5^{200} + 5^{199} + 5^{198}\) chia hết cho 31.

b) \(3^{2001} + 3^{2000} + 3^{1999}\) chia hết cho 39.