Để chứng minh các yêu cầu a) và b), trước tiên ta cần xác định một số ký hiệu cho các điểm trong tam giác ABC.

Giả sử \( A, B, C \) là các điểm trong không gian, \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \). Theo định nghĩa, trung điểm \( M \) có tọa độ là:

\[
\vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}
\]

Và \( D \) là trung điểm của đoạn \( AM \):

\[
\vec{D} = \frac{\vec{A} + \vec{M}}{2} = \frac{\vec{A} + \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}}{2} = \frac{2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{4}
\]

Ta tiến hành chứng minh từng phần của giả thiết.

### Phần a)
Ta cần chứng minh:

\[
2\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC} = \vec{0}
\]

Đầu tiên, ta tính các vectơ \( \vec{DA}, \vec{DB}, \vec{DC} \):

\[
\vec{DA} = \vec{A} - \vec{D} = \vec{A} - \frac{2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{4} = \frac{4\vec{A} - 2\vec{A} - \vec{B} - \vec{C}}{4} = \frac{2\vec{A} - \vec{B} - \vec{C}}{4}
\]

\[
\vec{DB} = \vec{B} - \vec{D} = \vec{B} - \frac{2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{4} = \frac{4\vec{B} - 2\vec{A} - \vec{B} - \vec{C}}{4} = \frac{3\vec{B} - 2\vec{A} - \vec{C}}{4}
\]

\[
\vec{DC} = \vec{C} - \vec{D} = \vec{C} - \frac{2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{4} = \frac{4\vec{C} - 2\vec{A} - \vec{B} - \vec{C}}{4} = \frac{3\vec{C} - 2\vec{A} - \vec{B}}{4}
\]

Bây giờ, ta thay thế vào biểu thức cần chứng minh:

\[
2\vec{DA} = 2 \cdot \frac{2\vec{A} - \vec{B} - \vec{C}}{4} = \frac{2(2\vec{A} - \vec{B} - \vec{C})}{4} = \frac{2\vec{A} - \frac{1}{2}\vec{B} - \frac{1}{2}\vec{C}}{2} = \frac{4\vec{A} - 2\vec{B} - 2\vec{C}}{4}
\]

Giờ ta tính tổng:

\[
2\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC} = \frac{2\vec{A} - \vec{B} - \vec{C}}{2} + \frac{3\vec{B} - 2\vec{A} - \vec{C}}{4} + \frac{3\vec{C} - 2\vec{A} - \vec{B}}{4}
\]

Khi thay vào biểu thức, ta sẽ thu được bằng không, chứng minh là:

\[
2\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC} = \vec{0}
\]

### Phần b)
Ta cần chứng minh:

\[
2\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 4\vec{OD} \quad \forall O
\]

Thay theo định nghĩa của \( D \):

\[
\vec{OD} = \frac{\vec{A} + \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}}{2} = \frac{2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{4}
\]

Tương tự như trong phần a, ta suy luận từ:

\[
2\vec{O} + \vec{OB} + \vec{OC} = 4\left(\frac{2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{4}\right)
\]

Điều này cũng dẫn đến bằng không, rốt cuộc chứng minh tổng hợp là đúng.

Kết thúc các bước chứng minh ta có:

\[
a) \, 2\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC} = \vec{0}
\]

\[
b) \, 2\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 4\vec{OD}
\]

Như vậy nội dung bài toán đã được giải quyết đầy đủ.