Để tìm số giá trị nguyên của tham số \( m \) sao cho hàm số \( y = |x^3 - 6x^2 + (m + 6)x - m| \) có 5 điểm cực trị, ta cần xác định các điều kiện liên quan đến số lần hàm số này biến thiên.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( |u| \) với \( u = x^3 - 6x^2 + (m + 6)x - m \):
\[
y' = \frac{d}{dx} |u| =
\begin{cases}
u' & \text{nếu } u \geq 0 \\
-u' & \text{nếu } u < 0
\end{cases}
\]

Bước 2: Tính \( u' \):
\[
u' = 3x^2 - 12x + (m + 6)
\]
Để tìm các cực trị của \( y \), ta cần xét \( u' = 0 \):
\[
3x^2 - 12x + (m + 6) = 0
\]

Bước 3: Tính delta:
\[
\Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (m + 6) = 144 - 12(m + 6) = 144 - 12m - 72 = 72 - 12m
\]

Bước 4: Để phương trình bậc 2 có 2 nghiệm (tức là 2 điểm cực trị), \( \Delta > 0 \):
\[
72 - 12m > 0 \Rightarrow 72 > 12m \Rightarrow 6 > m
\]
Đồng thời, để hàm số có 5 điểm cực trị, điều này chỉ xảy ra khi hàm số thay đổi từ dương sang âm (hay ngược lại) tại một trong các nghiệm của \( u = 0 \). Cần có một nghiệm của \( u = 0 \) trong số các nghiệm của \( u' = 0 \).

Bước 5: Vì hàm bậc ba \( u \) có dạng đi lên, hàm này sẽ cắt trục hoành tối thiểu 1 lần.

Để có tổng cộng 5 điểm cực trị (gồm 4 điểm cực đại và cực tiểu), cũng cần có 2 nghiệm của \( u = 0 \) nằm giữa các điểm cực trị của \( u' \).

Áp dụng điều kiện:
\[
m \in \mathbb{Z} \text{ và } m < 6
\]
Ngược lại, từ điều kiện xét dấu, không có lên xuống nào xảy ra.

Bước 6: Tính toán:
Giá trị nguyên của \( m \) từ \( -\infty \) đến 6, tức là \( m = -\infty, -4, -3, 0, 1, 2, 3, 5\), nhưng thực tế chỉ tính những giá trị nào cho \( m < 6 \).

Kết luận: Từ các giá trị lớn nhất tìm được, ta có 5 giá trị dự kiến cho \( m \).

Do đó, câu trả lời là **5**.