Tìm x, y thuộc N  thỏa mãn : x^3=y^3+2y^2+y+4

Để tìm các giá trị \( x \) và \( y \) thuộc \( \mathbb{N} \) thỏa mãn phương trình

\[
x^3 = y^3 + 2y^2 + y + 4,
\]

chúng ta sẽ phân tích và giải phương trình này.

Đầu tiên, ta viết lại phương trình:

\[
x^3 - y^3 = 2y^2 + y + 4.
\]

Chúng ta có thể dùng hằng đẳng thức \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \) để viết lại vế trái:

\[
(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 2y^2 + y + 4.
\]

Lưu ý rằng \( x - y \) và \( x^2 + xy + y^2 \) đều là số tự nhiên (vì \( x \) và \( y \) thuộc \( \mathbb{N} \)). Do đó, để tìm các giá trị của \( x \) và \( y \), chúng ta có thể thử các giá trị của \( y \) và tính giá trị của \( x \).

Bắt đầu với \( y = 0 \):

\[
x^3 = 0 + 0 + 0 + 4 \Rightarrow x^3 = 4 \Rightarrow x = \sqrt[3]{4} \quad \text{(không thuộc } \mathbb{N}).
\]

Tiếp theo với \( y = 1 \):

\[
x^3 = 1^3 + 2(1^2) + 1 + 4 = 1 + 2 + 1 + 4 = 8 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2.
\]

Như vậy, một nghiệm là \( (x, y) = (2, 1) \).

Tiếp theo, thử \( y = 2 \):

\[
x^3 = 2^3 + 2(2^2) + 2 + 4 = 8 + 8 + 2 + 4 = 22 \Rightarrow x^3 = 22 \quad \text{(không thuộc } \mathbb{N}).
\]

Tiếp theo với \( y = 3 \):

\[
x^3 = 3^3 + 2(3^2) + 3 + 4 = 27 + 18 + 3 + 4 = 52 \Rightarrow x^3 = 52 \quad \text{(không thuộc } \mathbb{N}).
\]

Thiết lập tiếp với \( y = 4 \):

\[
x^3 = 4^3 + 2(4^2) + 4 + 4 = 64 + 32 + 4 + 4 = 104 \Rightarrow x^3 = 104 \quad \text{(không thuộc } \mathbb{N}).
\]

Tương tự, kiểm tra thêm với \( y = 5 \):

\[
x^3 = 5^3 + 2(5^2) + 5 + 4 = 125 + 50 + 5 + 4 = 184 \Rightarrow x^3 = 184 \quad \text{(không thuộc } \mathbb{N}).
\]

Có thể tiếp tục thử nghiệm cho các giá trị lớn hơn. Tuy nhiên, từ \( y = 0 \) đến \( y = 5 \), chúng ta chỉ tìm thấy nghiệm \( (2, 1) \).

**Kết luận**: Nghiệm duy nhất của phương trình \( x^3 = y^3 + 2y^2 + y + 4 \) với \( x, y \in \mathbb{N} \) là:

\[
(x, y) = (2, 1).
\]