Việt các đa thức sau dưới dạng một tích từ đó tìm số nguyên n để các biểu thức có giá trị là một số nguyên tố: B=n^3+8

Để phân tích đa thức \( B = n^3 + 8 \), ta sử dụng công thức phân tích của tổng khối lập phương:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Trong trường hợp của chúng ta, \( a = n \) và \( b = 2 \) (vì \( 8 = 2^3 \)). Áp dụng công thức trên, ta có:

\[
n^3 + 8 = n^3 + 2^3 = (n + 2)(n^2 - 2n + 4)
\]

Bây giờ, để tìm các số nguyên \( n \) sao cho \( B(n) = (n + 2)(n^2 - 2n + 4) \) là một số nguyên tố, ta cần xem xét hai yếu tố của tích: \( n + 2 \) và \( n^2 - 2n + 4 \).

1. **Tình huống 1**: \( n + 2 = 1 \)
- Khi đó:
\[
n = -1 \Rightarrow B(-1) = 1 \cdot ((-1)^2 - 2(-1) + 4) = 1 \cdot (1 + 2 + 4) = 7
\]
\( 7 \) là một số nguyên tố.

2. **Tình huống 2**: \( n + 2 = -1 \)
- Khi đó:
\[
n = -3 \Rightarrow B(-3) = (-1) \cdot ((-3)^2 - 2(-3) + 4) = -1 \cdot (9 + 6 + 4) = -1 \cdot 19 = -19
\]
\( -19 \) không phải là số nguyên tố.

3. **Tình huống 3**: \( n + 2 = p \) (là một số nguyên tố lớn hơn 1)
- Khi đó, ta có \( n = p - 2 \).
- Ta cần kiểm tra trường hợp \( n^2 - 2n + 4 \) khi \( n = p - 2 \):
\[
B(p - 2) = p(n^2 - 2n + 4) = p \cdot ((p - 2)^2 - 2(p - 2) + 4)
\]
Tuy nhiên, việc phân tích cho tất cả các số nguyên tố \( p > 2 \) sẽ trở nên phức tạp và tùy thuộc vào giá trị của \( n \).

**Kết luận**:
Cho đến bây giờ, ta tìm được số nguyên \( n = -1 \) sao cho \( n^3 + 8 = 7 \), là số nguyên tố. Các giá trị khác cần kiểm tra có thể cho ra nhiều kết quả, nhưng hầu hết sẽ dẫn đến giá trị không nguyên tố. Do đó, \( n = -1 \) là một trong những giá trị tìm được.