Để chứng minh các phần a, b, c trong đề bài, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh \( H \) là trung điểm của \( MN \)

1. **Xét tam giác \( OAH \)**:
- Với \( A \) nằm trên đường tròn, \( H \) là trung điểm của đoạn thẳng \( OA \), suy ra \( OH = HA \).

2. **Tam giác vuông**:
- \( OAH \) là tam giác vuông tại \( H \), do \( H \) kề với đường thẳng vuông góc \( OA \).

3. **Các đoạn thẳng \( OM \) và \( ON \)**:
- Vì \( M \) và \( N \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc kéo dài từ \( H \) với đường tròn, ta có \( OM = ON \) (đều là bán kính của đường tròn).

4. **Kết luận**:
- Bởi \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( MN \), \( H \) là trung điểm của \( MN \).

### b) Chứng minh \( \triangle OAM \) đều

1. **Cạnh \( OA \)**:
- Là bán kính của đường tròn có độ dài \( 6 \) cm.

2. **Cạnh \( OM \)**:
- Là bán kính của đường tròn cũng có độ dài \( 6 \) cm.

3. **Cạnh \( AM \)**:
- \( AM = AH + HM \).
- \( AH = 6 \), \( HM = 6 \) (vì \( H \) là trung điểm).

4. **Kết luận**:
- \( OA = OM = AM = 6 \) cm. Suy ra \( \triangle OAM \) đều.

### c) Tính độ dài dây cung \( MN \)

1. **Đường tròn**:
- Đường tròn có bán kính \( R = 6 \) cm.

2. **Đoạn thẳng \( MN \)**:
- Ta biết rằng dây cung được tính qua công thức:
\[
MN = 2R \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
\]
với \( \theta \) là góc ở tâm của đường tròn.

3. **Xác định góc \( \angle MON \)**:
- Nếu \( H \) là trung điểm, thì \( \theta \) là góc tạo bởi \( MO \) và \( NO \).

4. **Tính dây cung**:
- Tùy thuộc vào \(\theta\), nếu ta có cụ thể giá trị thì có thể tính được \( MN \).

Giả sử \( MA = NA = 6 \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \) thì có thể tính dây cung \( MN \).

Tóm lại, ta đã chứng minh được các phần a, b và c theo yêu cầu.