Để giải bài toán này, trước hết ta sẽ thực hiện từng phần một:

### Bài 4:
Cho \( M = \frac{-x}{1+x} + \frac{x+3}{x-2} - \frac{5x+6}{x} \)

#### a) Rút gọn \( M \)

1. **Tìm mẫu chung** cho các phân thức: Mẫu chung là \( (1+x)(x-2)x \).
2. **Rút gọn từng phân thức**:

\[
M = \frac{-x \cdot (x-2)x + (x+3)(1+x)x - (5x+6)(1+x)(x-2)}{(1+x)(x-2)x}
\]

3. **Tính toán** các phần tử trong tử và rút gọn.

#### b) Tìm \( x \) để \( M < 0 \)

1. **Giải bất phương trình**: Sau khi tìm được biểu thức \( M \), giải bất phương trình để tìm giá trị của \( x \).

#### c) Tìm \( x \) nguyên để \( M \) nhận giá trị nguyên

1. **Giải phương trình**: Lập phương trình \( M = k \) với \( k \) là số nguyên và giải để tìm \( x \).

### Bài 5:
Cho biểu thức \( E = \frac{-x}{x^2-9} - \frac{1}{3-x} - \frac{2x-13}{x-3} \)

#### a) Rút gọn biểu thức \( E \)

1. **Tìm mẫu chung** cho các phân thức: Mẫu chung là \( (x^2 - 9)(3 - x)(x - 3) \).
2. **Rút gọn** và tính toán như ở bài 4.

#### b) Tìm giá trị của \( x \) để \( E < 0 \)

1. **Giải bất phương trình** \( E < 0 \) dựa trên biểu thức đã rút gọn.

#### c) Tìm \( x \) nguyên để \( E \) có giá trị nguyên

1. **Giải phương trình** tương tự như phần c của bài 4.

### Bài 6:
Cho biểu thức \( P = \frac{3}{2x+4} + \frac{x}{x^2-4} + \frac{2x-1}{4x-8} \), với \( x \neq -2 \) và \( x \neq \frac{1}{2} \).

#### a) Chứng minh \( P = \frac{2x}{x+2} \)

1. **Giải bài toán** bằng cách rút gọn \( P \) và so sánh biểu thức.

#### b) Tính \( P \) khi \( 4x^2 - 1 = 0 \).

1. **Giải phương trình** \( 4x^2 - 1 = 0 \) để tìm \( x \).
2. **Tính giá trị \( P \)** tại các giá trị \( x \) tìm được.

#### c) Tìm \( x \) để \( P < 2 \)

1. **Giải bất phương trình** \( P < 2 \) dựa trên biểu thức đã rút gọn.

Nếu cần hướng dẫn cụ thể hơn cho từng phần, hãy cho tôi biết!