Toán học lớp 8

Giả sử \( A, B, C \) là ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng và \( A', B', C' \) là những điểm lần lượt nằm trên các đoạn thẳng \( BC, CA, AB \). Theo như đề bài, điểm \( A', B', C' \) cũng phải thẳng hàng.

Theo tính chất của các điểm thẳng hàng, ta có thể áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \( ABC \) và đường thẳng \( A'B'C' \). Định lý Menelaus phát biểu rằng: nếu một đường thẳng cắt ba cạnh (hoặc kéo dài của ba cạnh) của một tam giác tại các điểm không đồng thời, thì tỉ số của các đoạn thẳng được xác định bởi các giao điểm này sẽ thỏa mãn một tỉ lệ.

Cụ thể, theo định lý Menelaus trên tam giác \( ABC \) với đường thẳng \( A'B'C' \), ta có:

\[
\frac{AB'}{B'C} \cdot \frac{CA'}{A'B} \cdot \frac{BC'}{C'A} = 1
\]

Gọi:
- \( a' = A'B \)
- \( a = A'B' \)
- \( b' = B'C \)
- \( b = B'A' \)
- \( c' = C'A \)
- \( c = C'B \)

Ta chỉ ra rằng:

\[
\frac{a'}{a} \cdot \frac{b'}{b} \cdot \frac{c'}{c} = 1
\]

Mà \( A', B', C' \) thẳng hàng, tức là \( \frac{a'}{a} = k \), \( \frac{b'}{b} = k \), \( \frac{c'}{c} = k \).

Vậy kết quả cuối cùng:

\[
\frac{A'B}{A'C} \cdot \frac{B'C}{B'A} \cdot \frac{C'A}{C'B} = 1
\]

Nên tỉ lệ \( \frac{a'b}{a'c} \cdot \frac{b'c}{b'a} \cdot \frac{c'a}{c'b} = 1 \) sẽ luôn đúng.