Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. AN, CM lần lượt cắt đường chéo BD tại E và F

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán với hình bình hành ABCD, ta sẽ thực hiện từng phần một:

### Phần a: Chứng minh AMCN là hình bình hành

Để chứng minh AMCN là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của AMCN bằng nhau và song song với nhau.

1. **Xét các đoạn thẳng**:
- M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD.
- Ta có \( AM = MB \) và \( CN = ND \).
- Do AB // CD trong hình bình hành, nên AM // CN và MB // ND cũng đều //.

2. **Xét độ dài**:
- Vì M và N là trung điểm của hai đoạn thẳng song song AB và CD, nên \( AM = CN \) và \( MB = ND \).

Như vậy, ta có:
- \( AM = CN \) và \( MB = ND \).
- \( AM \parallel CN \) và \( MB \parallel ND \).

Vậy, hình AMCN là hình bình hành.

### Phần b: Chứng minh DE = BF = EF

Trong tam giác ADB và tam giác CDB, vì M, N là trung điểm của AB và CD nên tồn tại mối quan hệ tỉ lệ giữa các đoạn thẳng bị chia:

1. **Xét các đường chéo**:
- Ta sẽ áp dụng định lý đường chéo trong hình bình hành.
- Gọi E là trọng điểm trên đường chéo BD mà AN cắt và F là điểm cắt giữa CM với BD.

2. **Xét tỉ lệ**:
- Sử dụng định lý về trung điểm: DE/EB = AD/AB và DF/FB = CD/CB.
- Trong hình bình hành, ta có AD = BC và AB = CD, vì vậy DE = BF.

Kết luận: \( DE = BF \) theo định lý tỉ lệ và do DE và BF đều là các đoạn thẳng gần kề của đường chéo BD.

Tiếp tục, do E, F đều nằm trên BD và DE = BF (cả 2 đoạn đều được chia đều trong hình bình hành), ta có:

\[
DE + EF = BF \implies DE + EF = DE \implies EF = DE = BF.
\]

### Phần c: Chứng minh ME // NF

Để chứng minh ME // NF, ta tiếp tục sử dụng các thuộc tính của hình bình hành:

1. Các đoạn thẳng ME và NF nối từ trung điểm đến các điểm cắt trên đường chéo. Theo định lý truyền bá, trong một hình bình hành, các đoạn thẳng nối từ các trung điểm sẽ tạo ra các đoạn thẳng // với nhau qua điểm giao nhau.

2. Từ M, N là trung điểm của các đoạn thẳng song song AB và CD, ta suy ra:
\[
ME \parallel NF.
\]

### Kết luận

Từ các bước chứng minh trên, ta đã chứng minh được rằng:
- Hình AMCN là hình bình hành.
- \( DE = BF = EF \).
- \( ME \parallel NF \).

Do đó, tất cả các yêu cầu trong bài toán đều được chứng minh.