Chứng minh, b chia hết cho 111

Để chứng minh \( b = 10^{6n+2} + 10^{3n+1} + 1 \) chia hết cho 111, ta có thể bắt đầu kiểm tra điều kiện chia hết cho 3 và 37, vì \( 111 = 3 \times 37 \).

### Kiểm tra chia hết cho 3

Trước tiên, ta sẽ tính \( b \mod 3 \):
- \( 10 \equiv 1 \mod 3 \), do đó
\[
10^{6n+2} \equiv 1^{6n+2} \equiv 1 \mod 3
\]
\[
10^{3n+1} \equiv 1^{3n+1} \equiv 1 \mod 3
\]

Vậy,
\[
b \equiv 1 + 1 + 1 \equiv 3 \equiv 0 \mod 3
\]
Do đó, \( b \) chia hết cho 3.

### Kiểm tra chia hết cho 37

Tiếp theo, ta sẽ tính \( b \mod 37 \):
- Lưu ý rằng \( 10^3 \equiv 1 \mod 37 \) (theo quy tắc Fermat hoặc tính toán đơn giản).
- Do đó:
\[
10^{6n+2} = (10^3)^{2n} \cdot 10^2 \equiv 1^{2n} \cdot 10^2 \equiv 10^2 \mod 37
\]
\[
10^{3n+1} = (10^3)^{n} \cdot 10^1 \equiv 1^{n} \cdot 10 \equiv 10 \mod 37
\]

Vậy, ta có:
\[
b \equiv 10^2 + 10 + 1 \mod 37
\]
Tính \( 10^2 + 10 + 1 \):
\[
10^2 = 100 \mod 37 \equiv 26
\]
Sau đó,
\[
b \equiv 26 + 10 + 1 \equiv 37 \equiv 0 \mod 37
\]

### Kết luận:

Có cả hai điều kiện:
- \( b \equiv 0 \mod 3 \)
- \( b \equiv 0 \mod 37 \)

Do đó, theo quy tắc chia hết, ta có thể kết luận rằng \( b \) chia hết cho 111.

\[
\boxed{b \text{ chia hết cho } 111}
\]