Chứng minh: sin(a+b+c)=sinacosbcosc+sinbcosacosc+sinccosacosb-sinasinbsinc

Để chứng minh nhận thức đầu tiên \( \sin(a+b+c) = \sin a \cos b \cos c + \sin b \cos a \cos c + \sin c \cos a \cos b - \sin a \sin b \sin c \), chúng ta có thể sử dụng công thức tổng cho hàm sin.

### Bước 1: Sử dụng công thức tổng cho hàm sin

Ta có công thức tổng cho hàm sin:
\[
\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y
\]
Vậy, áp dụng cho \( \sin(a+b+c) \), ta có:
\[
\sin(a+b+c) = \sin((a+b)+c) = \sin(a+b) \cos c + \cos(a+b) \sin c
\]

### Bước 2: Tính \(\sin(a+b)\) và \(\cos(a+b)\)

Chúng ta tiếp tục tính \(\sin(a+b)\) và \(\cos(a+b)\) bằng cách sử dụng lại công thức tổng:
\[
\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
\]
\[
\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
\]

### Bước 3: Thay vào công thức

Thay hai công thức này vào công thức đã viết ở bước 1:
\[
\sin(a+b+c) = \left(\sin a \cos b + \cos a \sin b\right) \cos c + \left(\cos a \cos b - \sin a \sin b\right) \sin c
\]

### Bước 4: Mở rộng và sắp xếp

Mở rộng biểu thức trên:
\[
\sin(a+b+c) = \sin a \cos b \cos c + \cos a \sin b \cos c + \cos a \cos b \sin c - \sin a \sin b \sin c
\]

### Bước 5: Kết luận

Đến đây, chúng ta thể hiện được rằng:
\[
\sin(a+b+c) = \sin a \cos b \cos c + \sin b \cos a \cos c + \sin c \cos a \cos b - \sin a \sin b \sin c
\]
vậy nên,
\[
\sin(a+b+c) = \sin a \cos b \cos c + \sin b \cos a \cos c + \sin c \cos a \cos b - \sin a \sin b \sin c
\]
đã được chứng minh.

### Nhận định thứ hai:

Để chứng minh nhận định thứ hai:
\[
\sin^2 x - \sin^2 y = \sin(x-y)\sin(x+y)
\]
Ta dùng công thức tích phân cho hiệu và tổng:
\[
\sin^2 x - \sin^2 y = (\sin x - \sin y)(\sin x + \sin y)
\]
Theo công thức:
\[
\sin x - \sin y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)
\]
\[
\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)
\]
Giờ ghép chúng lại:
\[
(\sin x - \sin y)(\sin x + \sin y) = \left(2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\right)\left(2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\right)
\]

### Kết quả:

Chuyển tiếp sẽ dẫn đến:
\[
\sin^2 x - \sin^2 y = \sin(x-y)\sin(x+y)
\]
Như vậy công thức đã được chứng minh.