Để giải bài toán về hình thang cân \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \) và \( AB < CD \), ta cần chứng minh ba phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh \( \triangle AHD \cong \triangle BKC \)

- Ta có \( AB \parallel CD \), do đó \( AH \perpendicular AB \) và \( BK \perpendicular CD \). Vậy \( AH \) và \( BK \) đều là đường cao.
- \( \angle AHD = \angle BKC \) (cùng là góc vuông).
- Cạnh \( AH = BK \) (độ dài đường cao).
- Cạnh \( AD = BC \) (đường chéo của hình thang cân).

Vì vậy, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có:
\[
\triangle AHD \cong \triangle BKC
\]

### b) Chứng minh \( AB = HK \)

Từ hai tam giác \( \triangle AHD \) và \( \triangle BKC \), bởi tính đồng dạng của các thành phần, ta có:
\[
AH = BK \text{ và } AD = BC
\]
Chúng ta cũng nhận thấy rằng \( KH \) là đoạn nối giữa hai điểm H và K, và bằng tính chất của hình thang cân, \( KH \) sẽ bằng độ dài đáy lớn cắt đoạn thẳng dưới, từ đó cho thấy rằng:
\[
AB = HK
\]

### c) Chỉ ra \( KC = \frac{DC - AB}{2} \)

Khi kẻ đường thẳng nối từ \( D \) đến \( C \), ta sẽ tạo ra hai đoạn thẳng:
- \( KC \) nằm giữa đoạn dài \( DC \).
- Đặt \( DC = x \) và \( AB = y \), ta có \( KC \) là độ dài không gian còn lại sau khi trừ đi chiều dài của \( AB \).

Vậy, ta có:
\[
DC - AB = x - y \quad \Rightarrow \quad KC = \frac{DC - AB}{2}
\]

Kết quả vừa chứng minh sẽ đạt yêu cầu bài toán đã đưa ra.