Chứng minh rằng dãy số (un) với un = 3n/(n²+9) bị chặn trên bởi 1/2

Để chứng minh rằng dãy số \( (u_n) \) với \( u_n = \frac{3n}{n^2+9} \) bị chặn trên bởi \( \frac{1}{2} \), chúng ta cần chứng minh rằng \( u_n \leq \frac{1}{2} \) với mọi \( n \geq 1 \).

Ta bắt đầu bằng việc giải bất đẳng thức:

\[
u_n \leq \frac{1}{2}
\]

Thay \( u_n \) vào bất đẳng thức, ta có:

\[
\frac{3n}{n^2 + 9} \leq \frac{1}{2}
\]

Nhân hai vế với \( 2(n^2 + 9) \) (vì \( n^2 + 9 > 0 \) với mọi \( n \)) để loại bỏ mẫu số:

\[
6n \leq n^2 + 9
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
n^2 - 6n + 9 \geq 0
\]

Đây chính là một phương trình bậc hai, ta có thể phân tích như sau:

\[
(n-3)^2 \geq 0
\]

Vì bình phương của một số thực luôn không âm, nên bất đẳng thức \( (n-3)^2 \geq 0 \) đúng với mọi \( n \). Nguyên nhân còn lại của bất đẳng thức là:

\[
(n-3)^2 = 0 \Rightarrow n = 3
\]

Do đó, \( n^2 - 6n + 9 \geq 0 \) với mọi \( n \). Điều này nghĩa là \( 6n \leq n^2 + 9 \) đúng với mọi \( n \geq 1 \), và suy ra \( u_n \leq \frac{1}{2} \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng dãy số \( (u_n) \) bị chặn trên bởi \( \frac{1}{2} \).

Kết luận rằng dãy \( (u_n) \) bị chặn trên bởi \( \frac{1}{2} \).