Giải các bất phương trình sau:

Để giải các bất phương trình sau, ta sẽ từng bước phân tích và giải từng bất phương trình một.

### a) \((2x + 1)(x - 1) \leq 0\)

**Bước 1:** Tìm các nghiệm của phương trình \((2x + 1)(x - 1) = 0\)
- \(2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\)
- \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)

**Bước 2:** Xét dấu của biểu thức trên các khoảng:
- Các khoảng cần xét: \((-∞, -\frac{1}{2})\), \((- \frac{1}{2}, 1)\), \((1, +∞)\)

**Bước 3:** Kiểm tra các khoảng:
- Khi \(x < -\frac{1}{2}\): chọn \(x = -1\) \(\Rightarrow (2(-1) + 1)(-1 - 1) = (-1)(-2) > 0\) → dương
- Khi \(-\frac{1}{2} < x < 1\): chọn \(x = 0\) \(\Rightarrow (2(0) + 1)(0 - 1) = (1)(-1) < 0\) → âm
- Khi \(x > 1\): chọn \(x = 2\) \(\Rightarrow (2(2) + 1)(2 - 1) = (5)(1) > 0\) → dương

**Kết luận:**
\((2x + 1)(x - 1) \leq 0\) cho \(x \in [-\frac{1}{2}, 1]\).

### b) \(3x^2 + 5x + 2 > 0\)

**Bước 1:** Tìm nghiệm của phương trình \(3x^2 + 5x + 2 = 0\) bằng công thức nghiệm:
\[
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1
\]
Nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 1}{6}
\]
- \(x_1 = -\frac{2}{3}\)
- \(x_2 = -1\)

**Bước 2:** Xét dấu của biểu thức trên các khoảng:
- Các khoảng cần xét: \((-∞, -1)\), \((-1, -\frac{2}{3})\), \((-\frac{2}{3}, +∞)\)

**Kết luận:**
\(3x^2 + 5x + 2 > 0\) cho \(x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{2}{3}, +\infty)\).

### c) \(3x - x^2 \geq 0\)

**Bước 1:** Viết lại dưới dạng \(x(3 - x) \geq 0\)

**Bước 2:** Tìm nghiệm:
- Nghiệm: \(x = 0\) và \(x = 3\)

**Bước 3:** Xét dấu của biểu thức trên các khoảng:
- Các khoảng cần xét: \((-∞, 0)\), \((0, 3)\), \((3, +∞)\)

**Kết luận:**
\(3x - x^2 \geq 0\) cho \(x \in [0, 3]\).

### d) \(2x^2 - 6x - 8 < 0\)

**Bước 1:** Tìm nghiệm của phương trình \(2x^2 - 6x - 8 = 0\):
\[
D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 36 + 64 = 100
\]
Nghiệm:
\[
x = \frac{6 \pm 10}{4}
\]
- \(x_1 = 4\)
- \(x_2 = -1\)

**Bước 2:** Xét dấu của biểu thức:
- Các khoảng cần xét: \((-∞, -1)\), \((-1, 4)\), \((4, +∞)\)

**Kết luận:**
\(2x^2 - 6x - 8 < 0\) cho \(x \in (-1, 4)\).

### Tổng kết
- a) \(x \in [-\frac{1}{2}, 1]\)
- b) \(x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{2}{3}, +\infty)\)
- c) \(x \in [0, 3]\)
- d) \(x \in (-1, 4)\)