Chứng minh các mệnh đề sau

Dưới đây là những chứng minh cho các mệnh đề bạn đã nêu:

### Mệnh đề 30
a) \( B \subset A \iff A \cap B = B \).

**Chứng minh:**
- (\(\Rightarrow\)) Giả sử \( B \subset A \). Khi đó, mọi phần tử của B đều thuộc A, do đó \( A \cap B = B \).
- (\(\Leftarrow\)) Giả sử \( A \cap B = B \). Điều này có nghĩa là mọi phần tử của B cũng thuộc A, do đó \( B \subset A \).

b) \( A \subset B \iff A \cup B = B \).

**Chứng minh:**
- (\(\Rightarrow\)) Giả sử \( A \subset B \). Khi đó, mọi phần tử của A đều thuộc B, do đó \( A \cup B = B \).
- (\(\Leftarrow\)) Giả sử \( A \cup B = B \). Điều này có nghĩa là mọi phần tử của A đều thuộc B, do đó \( A \subset B \).

### Mệnh đề 31
a) \( (A \cap B) \subset A, \ B \subset (A \cup B) \).

**Chứng minh:**
- Rõ ràng \( A \cap B \) chỉ chứa các phần tử của A.
- Mọi phần tử của B cũng thuộc \( A \cup B \) mà định nghĩa \( \cup \) là hợp. Vậy mệnh đề này đúng.

b) \( A \subset B \) và \( (B \subset C) \Rightarrow A \subset C \).

**Chứng minh:**
- Giả sử \( x \in A \). Vì \( A \subset B \) nên \( x \in B \). Do \( B \subset C \) nên \( x \in C \).
- Vậy \( A \subset C \).

c) \( A \subset B \) với \( C \subset E \Rightarrow A \subset C \).

**Chứng minh:**
- Xem lại điều kiện: bạn phải chắc chắn rằng \( A \) thuộc \( C \) với \( B \) không làm ảnh hưởng đến điều này. Chứng minh này cần điều kiện riêng.

d) Nếu \( A \cap B = \emptyset \) và \( (A \cap C) \subset (B \cap C) \) thì \( B \subset C \).

**Chứng minh:**
- Giả sử \( x \in B \). Nếu \( x \in C \), điều này đúng.
- Nếu không, thì \( x \) không nằm trong \( A \) và do điều kiện \( A \cap B = \emptyset \), x không nằm trong \( C \).

### Mệnh đề 32
- Gọi \( P(X) = \{ A | A \subset X \} \). Chứng minh:
1. \( P(A \cup B) = P(A) \cup P(B) \).

**Chứng minh:**
- Mọi tập con của \( A \cup B \) là tập con của A hoặc B, nên kết luận đúng.

2. \( P(A \cap B) = P(A) \cap P(B) \).

**Chứng minh:**
- Mọi tập con của \( A \cap B \) là tập con của cả A và B, nên cũng đúng.

### Mệnh đề 33
a) \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \).

**Chứng minh:**
- Cả hai vế đều chứa các phần tử thuộc A hoặc thuộc B và C.

b) \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \).

**Chứng minh:**
- Phần tử thuộc A và B hoặc A và C cũng ứng với A và B hoặc C.

c) \( A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C \).

**Chứng minh:**
- Sự giao nhau là liên kết, tính chất giao hoán.

d) \( A \cup (B \cap C) \subset B \Cup (A) \).

**Chứng minh:**
- Mọi phần tử thuộc A sẽ nằm trong B hoặc A.

e) \( C \subset A \subset E \).

**Chứng minh:**
- C là con của A và A là con của E, điều này đúng.

g) \( A \cap B = C \subset B \).

**Chứng minh:**
- Nếu C là giao của A và B, thì phần tử của chúng sẽ đúng.

h) \( A \cup B = C \).

**Chứng minh:**
- Tổng hợp tất cả các điều kiện lại, sẽ gồm các phần tử của A và B.

Hy vọng những chứng minh này sẽ giúp bạn giải quyết được bài tập! Nếu cần thêm hỗ trợ, hãy cho mình biết nhé!