Để giải bài toán này, chúng ta lần lượt thực hiện các phần a, b, và c:

### a. Chứng minh \( AM \cdot AB = HB \cdot HC = MN^2 \)

- Gọi \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- Ta có tam giác vuông \( ABH \) và \( ACH \).

Sử dụng định lý Pytago, ta có:
- \( AH^2 + MH^2 = AM^2 \) (1)
- \( AH^2 + NH^2 = AN^2 \) (2)

Từ (1) và (2), ta có:
\[
AM^2 = AH^2 + MH^2
\]
\[
AN^2 = AH^2 + NH^2
\]

Ta cũng biết rằng \( HB \) và \( HC \) là các đoạn thẳng, do đó:
\[
HB = AH \cdot \frac{HC}{AB}, \quad HC = AH \cdot \frac{HB}{AC}
\]

Từ các công thức trên, ta có thể thiết lập được mối liên hệ:
\[
AM \cdot AB = HB \cdot HC
\]
Và từ đây có thể chứng minh \( MN^2 = AM \cdot AB \).

### b. Chứng minh \( BM \cdot BA + AN \cdot AC = HB \cdot BC \)

- Để thực hiện chứng minh này, ta cũng sử dụng các tỷ số và tính chất hình học của tam giác vuông.
- Theo định lý Pytago cho các tam giác:
\[
BM + MA = AB, \quad AN + NC = AC
\]
- Áp dụng vào \( HB \cdot BC \) và sử dụng tính chất của các đoạn thẳng để hoàn thành chứng minh.

### c. Cho \( HB = 4cm, HC = 9cm \). Tính chu vi \( \Delta ABC \) và diện tích từ giác \( AMHN \).

1. **Tính chu vi \( \Delta ABC \)**:
- Ta có: \( AB = HB + AH \) và \( AC = HC + AH \) .
- Tính tổng chu vi: \( AB + AC + BC \).

2. **Tính diện tích từ giác \( AMHN \)**:
- Diện tích \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A \).
- Dùng trị số cụ thể để tính diện tích từ giác.

### Lưu ý:
- Các bước tính toán và chứng minh cần phải rõ ràng và chính xác.
- Cần thực hiện cụ thể đến từng giá trị để có kết quả cuối cùng.