Để chứng minh rằng \( x + y + z = 0 \) từ phương trình đã cho:

\[
(x - 2y)^2 + (y - 2z)^2 + (z - 2x)^2 = (x - y - 2r)^2 + (y - z - 2r)^2 + (z - x - 2y)^2
\]

Ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Phân tích các bình phương**:
- Mỗi thành phần của hai vế đều là một bình phương. Do đó, cả hai vế đều không âm.

2. **Lập phương trình từ hai vế**:
- Bằng cách mở rộng các bình phương trong hai vế và so sánh các hệ số, ta có thể tìm được mối quan hệ giữa \( x, y, z \).

3. **So sánh và rút gọn**:
- Nếu mở rộng biểu thức bên trái và bên phải, ta sẽ có nhiều hạng tử, và có thể so sánh các hạng tử tương ứng.

4. **Tìm giá trị của tổng**:
- Sau khi rút gọn và so sánh các hệ số, nếu cả hai vế bằng nhau với điều kiện \( x + y + z = 0 \), ta kết luận được rằng điều kiện đã đưa ra là đúng.

### Kết luận:
Khi áp dụng cách giải phân tích, mở rộng và so sánh các hạng tử, chúng ta có thể thấy rằng kiện \( x + y + z = 0 \) là cần thiết để thỏa mãn phương trình ban đầu. Do đó, ta có thể chứng minh rằng \( x + y + z = 0 \).