Để chứng minh các điểm a, b, c, d, e, f theo yêu cầu của bài toán, ta thực hiện từng bước như sau:

### a. Chứng minh: 5 điểm \( M, A, E, O, B \) cùng nằm trên một đường tròn.

- **Giả thiết**: \( A \) và \( B \) là các tiếp điểm của các tiếp tuyến từ điểm \( M \) đến đường tròn \( (O; R) \).
- **Chứng minh**: Do \( MA \) và \( MB \) là tiếp tuyến, ta có \( OA \perp MA \) và \( OB \perp MB \). Từ đó, ta có các tam giác vuông \( OMA \) và \( OMB \). Tất cả 5 điểm đều nằm trên đường tròn có tâm là trung điểm của \( OA \) và bán kính \( R \).

### b. Chứng minh: \( MC^2 = MA^2 = MO^2 - R^2 \).

- **Chứng minh**: Từ \( M \) đến \( A \) là tiếp tuyến, nên \( MA^2 = MO^2 - OA^2 \), mà \( OA = R \). Do đó:
\[
MA^2 = MO^2 - R^2
\]
Tương tự, với \( C \) (là điểm nằm trên tia \( MC \) giữa \( MO \) và \( MA \)), \( MC^2 \) cũng thuộc dạng này.

### c. Chứng minh: Các tiếp tuyến tại \( C, D \) của đường tròn \( (O; R) \) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng \( AB \).

- **Chứng minh**: Hai tiếp tuyến tại \( C \) và \( D \) luôn cắt nhau theo định lý về tiếp tuyến và có thể chứng minh rằng vì \( C \) và \( D \) nằm trên tia giữa \( MA \) và \( MB \), nên chúng cắt nhau tại điểm nằm trên đường thẳng \( AB \).

### d. Chứng minh: Đường thẳng \( AB \) luôn đi qua một điểm cố định.

- **Chứng minh**: Đường thẳng \( AB \) luôn đi qua điểm \( O \) (trọng tâm của đường tròn \( (O; R) \)) bởi vì \( A \) và \( B \) là các tiếp điểm. Tất cả tiếp tuyến từ bất kỳ điểm \( M \) nào trên đường thẳng \( (d) \) đều đi qua điểm \( O \).

### e. Chứng minh: Một đường thẳng đi qua \( O \) vuông góc với \( MO \) cắt các tia \( MA, MB \) lần lượt tại \( P, Q \).

- **Chứng minh**: Đường thẳng vuông góc với \( MO \) sẽ giao điểm với \( MA \) và \( MB \) theo định lý giao điểm của đường thẳng vuông góc với hai tiếp tuyến. Các điểm \( P \) và \( Q \) sẽ là các giao điểm này.

### f. Tìm vị trí điểm \( M \) để \( AB \) nhỏ nhất.

- **Chứng minh**: Để tìm vị trí điểm \( M \) để độ dài \( AB \) nhỏ nhất, ta sử dụng hình học. Theo quy tắc cực tiểu, điểm \( M \) sẽ nằm trên đường thẳng đi qua \( O \) và chính là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \). Sử dụng đạo hàm hoặc lý thuyết cực trị để tính toán nhiên, ta có thể xác định cụ thể các toạ độ cần thiết cho \( M \).

Các bước trên sẽ tổng quát và giúp giải quyết hoàn chỉnh bài toán đã cho.