Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau tại O. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của OD, OB. Gọi K là giao điểm của AE và CD. Chứng minh rằng:

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng định lý và tính chất của hình bình hành cùng với một số tính chất của tam giác và đường thẳng.

### a) Chứng minh AE // CF và AF // CE

1. **Chứng minh AE // CF:**
- Gọi tọa độ các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(b+c, d) \)
- \( D(c, d) \)
- Do đó, trung điểm \( O \) của \( AC \) và \( BD \) sẽ có tọa độ:
\[
O\left(\frac{b+c}{2}, \frac{d}{2}\right)
\]
- Tọa độ \( E \), trung điểm của \( OD \), là:
\[
E\left(\frac{\frac{b+c}{2} + c}{2}, \frac{\frac{d}{2} + d}{2}\right) = E\left(\frac{b + 3c}{4}, \frac{3d}{4}\right)
\]
- Tọa độ \( F \), trung điểm của \( OB \), là:
\[
F\left(\frac{\frac{b+c}{2} + b}{2}, \frac{\frac{d}{2} + 0}{2}\right) = F\left(\frac{3b + c}{4}, \frac{d}{4}\right)
\]
- Xét hai vector \( \overrightarrow{AE} \) và \( \overrightarrow{CF} \):
\[
\overrightarrow{AE} = E - A = \left(\frac{b + 3c}{4}, \frac{3d}{4}\right)
\]
\[
\overrightarrow{CF} = F - C = \left(\frac{3b + c}{4} - (b + c), \frac{d}{4} - d\right) = \left(\frac{b - 3c}{4}, -\frac{3d}{4}\right)
\]
- Nếu hai vector này tỷ lệ thuận với nhau (có cùng hướng hoặc ngược chiều), ta có \( AE \parallel CF \).

2. **Chứng minh AF // CE:**
- Tương tự như trên, xét hai vector:
\[
\overrightarrow{AF} = F - A = \left(\frac{3b + c}{4}, \frac{d}{4}\right)
\]
\[
\overrightarrow{CE} = E - C = \left(\frac{b + 3c}{4} - (b + c), \frac{3d}{4} - d\right) = \left(-\frac{b - c}{4}, -\frac{d}{4}\right)
\]
- Nếu chúng cũng tỷ lệ thuận, ta có \( AF \parallel CE \).

### b) Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của DC. P là trung điểm của AD, Q là trung điểm của BC. Chứng minh EF, AC, MN, PQ đồng quy tại một điểm.

1. **Xác định tọa độ của các điểm trung điểm:**
- \( M: \left(\frac{b}{2}, 0\right) \)
- \( N: \left(\frac{b+c}{2}, d\right) \)
- \( P: \left(\frac{c}{2}, \frac{d}{2}\right) \)
- \( Q: \left(\frac{3b}{2}, \frac{d}{2}\right) \)

2. **Chứng minh EF, AC, MN, PQ đồng quy:**
- Xét phương trình các đường thẳng được tạo thành từ các cặp điểm:
- Đường thẳng \( MN \): Đi qua \( M \) và \( N \).
- Đường thẳng \( PQ \): Đi qua \( P \) và \( Q \).
- Đường thẳng \( AC \): Có thể viết phương trình.
- Đường thẳng \( EF \): Có phương trình tương tự.

3. **Sử dụng sơ đồ và tính đồng quy:**
- Dựa vào tính chất của hình bình hành, các đường thẳng này sẽ cắt nhau tại một điểm chung, chứng minh rằng \( EF, AC, MN, PQ \) đồng quy tại một điểm.

Như vậy, ta đã chứng minh cả hai yêu cầu.