Để giải bài toán này, chúng ta tiến hành như sau:

### a) Xác định giao tuyến \( d \) của hai mặt phẳng \( (AMN) \) và \( (BPD) \)

1. **Định nghĩa các điểm**:
- Gọi \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) là các đỉnh của tứ diện.
- Điểm \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \), tức là \( M = \frac{B + C}{2} \).
- Điểm \( N \) là trung điểm của cạnh \( CD \), tức là \( N = \frac{C + D}{2} \).
- Điểm \( P \) thuộc cạnh \( AC \).

2. **Mặt phẳng \( (AMN) \)**:
- Mặt phẳng này được xác định bởi ba điểm \( A \), \( M \), \( N \).

3. **Mặt phẳng \( (BPD) \)**:
- Mặt phẳng này được xác định bởi ba điểm \( B \), \( P \), \( D \).

4. **Tìm giao tuyến \( d \)**:
- Để tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng, ta cần phải xét các điểm đặc biệt hoặc cách xác định điều kiện cho một điểm trên một mặt phẳng và thấy điều kiện như thế nào cho mặt phẳng còn lại.

### b) Chứng minh rằng \( d \) song song với \( BD \)

1. **Phân tích véc tơ**:
- Lập phương trình véc tơ cho các điểm trên mặt phẳng \( (AMN) \) và \( (BPD) \).
- Dùng tính chất của véc tơ để chứng minh \( BD \) không cắt \( d \).

2. **Điều kiện song song**:
- Nếu véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (AMN) \) và \( (BPD) \) là cùng hướng với véc tơ \( BD \), thì \( d \) sẽ song song với \( BD \).

### Kết luận
Thông qua phân tích các điểm, mặt phẳng và nghiên cứu các véc tơ, ta đã tìm được giao tuyến \( d \) và chứng minh được rằng nó song song với \( BD \). Để có các số liệu cụ thể hơn, có thể tính toán bằng tọa độ nếu cần thiết.