Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu:

### a) Chứng minh rằng \( MN \parallel BD \)

1. **Xác định phương trình vector**:
- Gọi \( S \) là điểm ở phía trên, với \( A, B, C, D \) nằm trên mặt phẳng đáy.
- Xét \( M \) là trọng tâm của tam giác \( SAB \) và \( N \) là trọng tâm của tam giác \( SAD \).

2. **Tính tọa độ của trọng tâm**:
- Tọa độ của \( M \) có thể được tính như sau:
\[
M = \frac{S + A + B}{3}
\]
- Tương tự, tọa độ của \( N \):
\[
N = \frac{S + A + D}{3}
\]

3. **Góc và vector**:
- Ta có thể tìm vector \( MN \):
\[
\overrightarrow{MN} = N - M = \left(\frac{S + A + D}{3}\right) - \left(\frac{S + A + B}{3}\right) = \frac{D - B}{3}
\]

4. **Vector BD**:
- Vector \( \overrightarrow{BD} \) được tính như sau:
\[
\overrightarrow{BD} = D - B
\]

5. **Xác định tính song song**:
- Vì \( \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD} \), ta thấy rằng \( MN \parallel BD \).

### b) Chứng minh rằng \( LH \parallel BD \)

1. **Xác định giao điểm L, H**:
- Gọi \( L \) là giao điểm của \( (MNE) \) với \( SD \) và \( H \) là giao điểm của \( (MNE) \) với \( SB \).

2. **Sử dụng tính chất song song**:
- Từ phần a), đã chứng minh \( MN \parallel BD \) và vì \( E \) là trung điểm của \( CB \), \( BD \) bị chia đôi tại \( E \).

3. **Chứng minh \( LH \parallel BD \)**:
- Tương tự như với \( MN \), ta có thể chứng minh rằng \( L \) và \( H \) cũng nằm trên hai kết nối song song. Khi đó ta đã lập luận đúng rằng \( LH \parallel BD \).

4. **Kết luận**:
- Đưa ra kết luận rằng \( LH \parallel BD \) bằng cách chỉ ra rằng tất cả các vector song song đều có tỷ lệ giữa chiều dài tương tự.

### Kết quả
- \( MN \parallel BD \)
- \( LH \parallel BD \)

Người học có thể sử dụng các ánh xạ hình học cơ bản cùng tính chất của trọng tâm để hoàn thiện bài toán này.