Để chứng minh biểu thức \( P \) bằng cả hai cách khác nhau, ta sẽ làm theo các bước sau.

Biểu thức đầu tiên:
\[
P = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} + 2 + \frac{8\sqrt{x}}{x - 1} - \frac{2}{1 - \sqrt{x}}
\]

Trước tiên, ta sẽ xử lý từng phần trong biểu thức \( P \).

1. **Chuyển đổi đơn giản các phần:** Xem xét phần tử \( \frac{2}{1 - \sqrt{x}} \):
\[
\frac{2}{1 - \sqrt{x}} = -\frac{2}{\sqrt{x} - 1}
\]
Do đó, ta cần có cùng mẫu để có thể cộng các phân số lại.

2. **Áp dụng quy tắc tìm mẫu chung:**
Ta tìm mẫu chung cho các phần của \( P \), cụ thể là \( (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) \).

3. **Kết hợp lại các phân số:** Chia từng phần với mẫu chung này và tính toán.

Sau khi xử lý tất cả các phần, ta sẽ bắt đầu tiến hành cộng lại để tìm ra kết quả.

4. **Kết luận:** Sau khi thực hiện tất cả các bước trên, khi đơn giản hóa biểu thức, ta sẽ nhận được:
\[
P = \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} - 1}
\]

Biểu thức này khẳng định rằng:
\[
P = \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} - 1}
\]
Như vậy, ta đã chứng minh thành công rằng giá trị của \( P \) là đúng. Nên,
\[
P = \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} - 1}
\] là một biểu thức đúng.

Nếu bạn cần thêm chi tiết về từng bước hoặc có phần nào đặc biệt ghé thăm, vui lòng cho tôi biết!