Để giải bài toán đã cho, ta tiến hành như sau:

### a) Chứng minh rằng tứ giác OO'K là hình thang vuông.

1. **Đặt điểm K**:
- K là trung điểm của đoạn AE, tức là AK = KE.

2. **Tính chất của đường kính**:
- Vì A và B là hai điểm cắt nhau của hai đường tròn, đường thẳng AB là đường kính của cả hai đường tròn (nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B).

3. **Chứng minh OO' ⊥ d**:
- Đường thẳng OO' đi qua tâm của hai đường tròn. Từ A, K là đường vuông góc với AB.
- Suy ra tứ giác OO'K có hai cặp cạnh đối diện song song (OO' // EF) và có một góc vuông (góc O'KA).

=> Như vậy, tứ giác OO'K là hình thang vuông.

### b) Chứng minh rằng IK = 1/2 EF.

1. **Định nghĩa IK**:
- K là trung điểm của EA, do đó EA = EK.
- Cũng tương tự, I là trung điểm của AF, do đó AI = IF.

2. **Áp dụng tính chất trung điểm**:
- Tổng chiều dài AE và AF (gồm EA và AK + AI + IF) sẽ cho ra chiều dài EF thỏa mãn:
\[
EF = EA + AF = 2IK
\]
=> Suy ra:
\[
IK = \frac{1}{2}EF
\]

### c) Khi d ở vị trí nào thì OO'K là một hình chữ nhật?

- Để OO'K trở thành hình chữ nhật:
1. **Điều kiện**:
- Tứ giác OO'K sẽ là hình chữ nhật khi góc O'K và góc OK là 90 độ.
2. **Nếu d vuông góc với OO'**:
- Khi đó OO'K sẽ có tất cả 4 góc vuông và do đó là một hình chữ nhật.

=> Kết luận, để tứ giác OO'K là hình chữ nhật, đường d cần vuông góc với đoạn thẳng OO'.

Hy vọng phần giải này giúp ích cho bạn!