\Cho tam giác ABC (AB > AC) có đường cao AH. Gọi E là trung điểm của AB. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

### a) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

1. **Xác định tọa độ các đỉnh**:
- Gọi A(0, 0), B(b, 0), C(c, h) với \( b > c \) và \( h = AH \) là độ dài của đường cao từ A xuống BC.
- Do E là trung điểm của AB, tọa độ E là \( E\left(\frac{b}{2}, 0\right) \).

2. **Tính toạ độ D**:
- Đường thẳng AC có phương trình \( y = \frac{h}{c}x \).
- Đường thẳng đi qua E và song song với AC có phương trình giống như AC nhưng đi qua \( E\). Tuy nhiên, nên sử dụng thức lượng để tìm điểm giao nhau.

3. **Tính toạ độ F**:
- Đường thẳng đi qua D và song song với AB có dạng y = 0 (tức là trục hoành) vì AB nằm trên trục x.
- Từ tọa độ D, ta tìm được F trên AC.

4. **Điều kiện để AEDF là hình chữ nhật**:
- Tứ giác AEDF là hình chữ nhật nếu và chỉ nếu ED ⊥ AE và DF ⊥ AD, tức là 2 đường chéo AE và DF phải bằng nhau và song song.

### b) Với điều kiện của tam giác ABC tìm được ở câu a, chứng minh tứ giác DEFH là hình thang cân.

1. **Chứng minh DEFH là hình thang**:
- Bằng cách chứng minh DF // EH. Điều này xảy ra vì cả hai đoạn này đều song song với AB, do đó trọng tâm sẽ đồng thuận.

2. **Chứng minh DEFH là hình thang cân**:
- Chứng minh hai cạnh DE và FH bằng nhau bằng cách tính độ dài, sử dụng hệ thức lượng hoặc 1 số định lý liên quan.

### Thực hiện:

1. **Tính toán tọa độ** sẽ cần điều chỉnh tùy thuộc vào kích thước, nhưng dựa vào việc sử dụng định lý Pythagore trong các trường hợp hai trục song song/.

2. **Kiểm tra sự đồng dạng** giữa các cạnh.

3. **Kết luận**: Từ các thông tin trên, có thể đưa ra kết luận về tính chất và công thức cho các tứ giác theo yêu cầu của bài toán.

Mỗi bước trong quá trình giải đều cần đến sự suy luận đúng đắn về hình học và áp dụng các định lý đã biết.