Cho tam giác \( ABC \) nội tiếp đường tròn \( (O) \),Gọi \( D \) là một điểm bất kỳ trên cạnh \( BC \) \( (D \) không trùng với \( B, C) \) và \( (O') \) là đường tròn tiếp xúc trong \( (O) \) tại \( K \) tiếp xúc với các đoạn thẳng \( AD, CD \) lần lượt tại \( E, F \)

Để giải bài toán này, ta sẽ xem xét các yếu tố hình học có liên quan đến tam giác \( ABC \) và các điểm, đường tròn được xác định trong bài.

## Các bước giải bài toán:

1. **Tâm đối xứng**: Đường tròn \( (O') \) tiếp xúc trong với đường tròn \( (O) \) tại \( K \) và tiếp xúc với các đoạn thẳng \( AD \) và \( CD \) tại \( E \) và \( F \) tương ứng. Điểm \( K \) chính là tâm đối xứng cho các đường tiếp xúc.

2. **Các đường thẳng**: Ta có các đường thẳng \( KE \) và \( KF \) cắt đường tròn \( (O) \) tại hai điểm \( N \) và \( M \).

3. **Tính chất các điểm**: Theo định nghĩa của đường tròn tiếp xúc trong, các đoạn \( AE, AF, BD, CD \) sẽ tạo thành một số tỉ lệ nhất định và có thể áp dụng các định lý hình học để tìm các mối quan hệ giữa các đoạn thẳng.

4. **Tìm mối quan hệ**: Có thể sử dụng các định lý như định lý Thales hoặc định lý Menelaus để tính toán các tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác \( ABC \) và các điểm \( D, E, F, N, M \).

## Kết luận:

Bài toán yêu cầu áp dụng kiến thức hình học liên quan đến đường tròn, tam giác, và các tính chất của tỉ lệ trong hình học phẳng.

Nếu cần giải bài toán cụ thể hơn hoặc có các điều kiện cụ thể về các đoạn thẳng, phương pháp tính toán, bạn có thể cung cấp thêm thông tin để có thể bàn luận chi tiết hơn!