Để tính vectơ \( \overrightarrow{AM} \) trong tam giác \( ABC \) với \( AB = 4 \) và \( AC = 6 \), đầu tiên, ta cần xác định tọa độ của các điểm \( A \), \( B \), \( C \), và điểm \( M \).

Giả sử các điểm có tọa độ như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(4, 0) \) (vì \( AB = 4 \))
- \( C(x_C, y_C) \) (tọa độ của điểm \( C \) sẽ được xác định sau)

Tọa độ của điểm \( M \) (trung điểm của \( BC \)) có thể được tính bằng công thức:
\[
M\left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right)
\]
Với tọa độ \( B(4, 0) \) và tọa độ của \( C \) chưa xác định, ta cần tính đạo hàm điều kiện cho \( AC = 6 \).

Sử dụng công thức khoảng cách cho đoạn thẳng \( AC \):
\[
AC = \sqrt{(x_C - 0)^2 + (y_C - 0)^2} = 6
\]
Từ đó, ta có:
\[
x_C^2 + y_C^2 = 36
\]

Để đơn giản, chúng ta có thể chọn \( C \) có tọa độ nhất định. Giả sử \( C(0, 6) \) (như một cách đơn giản). Khi đó, ta tính được tọa độ trung điểm \( M \):
\[
M = \left( \frac{4 + 0}{2}, \frac{0 + 6}{2} \right) = \left( 2, 3 \right)
\]

Bây giờ, ta cần tính vectơ \( \overrightarrow{AM} \):
\[
\overrightarrow{AM} = M - A = (2 - 0, 3 - 0) = (2, 3)
\]

Do đó, vectơ \( \overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \).

Nếu điểm \( C \) được chọn khác, kết quả vectơ \( \overrightarrow{AM} \) cũng sẽ được điều chỉnh theo tọa độ của \( C \), nhưng phương pháp tính vẫn giống nhau.