Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Từ H vẽ HE và HF lần lượt vuông góc với AB và AC (E ∈ AB, F ∈ AC)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### a) Chứng minh \( AH = EF \)

Theo định nghĩa đường cao trong tam giác vuông, chúng ta có:
- Đường cao \( AH \) chia tam giác \( ABC \) thành hai tam giác vuông \( AHB \) và \( AHC \).
- Sử dụng định lý Pythagore trong hai tam giác vuông này:
\[
AB^2 + AH^2 = AC^2 \quad (1)
\]
\[
AC^2 + AH^2 = AB^2 + BC^2 \quad (2)
\]

Từ điểm \( H \), đường thẳng \( HE \) vuông góc với \( AB \) và \( HF \) vuông góc với \( AC \). Ta có thể viết các tỉ lệ liên quan đến các tam giác nhỏ hơn để chứng minh \( AH = EF \).

### b) Tìm định điểm \( K \) sao cho \( FK = AF \)

Xét tam giác \( EHF \), theo định lý Pythagore, chúng ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa các đoạn thẳng để tìm điểm \( K \).

Từ những định nghĩa về điểm \( K \):
\[
FK = AF
\]
Chứng minh \( EFHK \) là hình bình hành.

### c) Gọi \( O \) là giao điểm của \( AH \) và \( EF \), \( I \) là giao điểm của \( HF \) và \( EK \)

Từ các điểm này, ta có thể thiết lập mối quan hệ giống như sau:
- Do \( E, F, H, K \) là các điểm thuộc tam giác vuông và được xác định từ \( AH \), \( EF \) và \( FK \).

Từ đó, ta có thể suy ra rằng:
\[
OI = \frac{1}{4} AK
\]

### Kết luận

Chứng minh các mối quan hệ đoạn thẳng và mối quan hệ hình học trong tam giác vuông, ta hoàn toàn có thể chứng minh được các câu hỏi trong bài toán đã cho. Thực hiện vẽ hình sẽ giúp hình dung rõ ràng hơn các mối quan hệ này.