Để chứng minh tam giác \(ABC\) với các cạnh \(a\), \(b\), và \(c\) thỏa mãn điều kiện \(a^4 = b^4 + c^4\ là tam giác nhọn, ta có thể sử dụng định nghĩa về tam giác nhọn và một số bất đẳng thức cơ bản.

Đầu tiên, vì \(a\), \(b\), và \(c\) là độ dài các cạnh của tam giác, ta có sự bất đẳng thức tam giác:

\[
a < b + c
\]

Bây giờ, từ điều kiện \(a^4 = b^4 + c^4\), chúng ta có thể viết lại như sau:

\[
a^4 = (b^2)^2 + (c^2)^2
\]

Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, chúng ta có:

\[
(b^2 + c^2)^2 \geq 2(b^2 \cdot c^2)
\]

Theo điều kiện \(a^4 = b^4 + c^4\), chúng ta biết rằng:

\[
(b^2 + c^2)^2 > b^4 + c^4
\]

Do đó, từ việc so sánh, ta tìm được rằng:

\[
b^4 + c^4 \leq (b^2 + c^2)^2
\]

Và từ đấy cho thấy các cạnh này có thể tạo thành một tam giác nhọn. Để chứng minh rõ hơn, ta cần chứng tỏ rằng các góc của tam giác đều nhỏ hơn \(90^\circ\).

Nếu tam giác \(ABC\) là tam giác vuông, tức là có một góc bằng \(90^\circ\), thì có một cạnh mà ta gọi là \(c\) và điều này dẫn tới:

\[
a^2 = b^2 + c^2
\]

Dễ thấy rằng nếu chúng ta nâng cả hai vế lên bậc \(2\), ta sẽ không có:

\[
a^4 = \sqrt{(b^2 + c^2)^2}
\]

Như vậy, nếu \(ABC\) là tam giác vuông thì \(a^4\) phải bằng một tổng của \(b^4\) và \(c^4\), tuy nhiên theo điều kiện của bài toán, điều này không xảy ra.

Cuối cùng, đi đến kết luận rằng tam giác \(ABC\) với điều kiện \(a^4 = b^4 + c^4\) phải là tam giác nhọn, vì tất cả các góc đều nhỏ hơn \(90^\circ\).

Do đó, ta đã chứng minh được rằng nếu \(a^4 = b^4 + c^4\) thì tam giác \(ABC\) là tam giác nhọn.