Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của tham số \( m \) thuộc khoảng \( [-10; 0] \) sao cho hệ bất phương trình

\[
\begin{cases}
2x - 5y + m \leq 0 \\
x + y \geq 1
\end{cases}
\]

có nghiệm.

1. **Phân tích bất phương trình thứ nhất:**
- Bất phương trình \( 2x - 5y + m \leq 0 \) có thể viết lại thành \( 2x - 5y \leq -m \).
- Để tìm vùng nghiệm của bất phương trình này, ta khảo sát phương trình \( 2x - 5y = -m \) (đường thẳng).

2. **Phân tích bất phương trình thứ hai:**
- Bất phương trình \( x + y \geq 1 \) có thể viết lại thành \( y \geq 1 - x \) (đường thẳng).

3. **Xét miền nghiệm:**
- Để hệ bất phương trình trên có nghiệm, hai đường thẳng \( 2x - 5y = -m \) và \( x + y = 1 \) cần cắt nhau tại một điểm và vùng nghiệm của \( 2x - 5y \leq -m \) phải nằm phía trên hoặc trùng với đường thẳng \( x + y = 1 \).

4. **Tìm điều kiện để có nghiệm:**
- Tìm giao điểm của hai đường thẳng, giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
2x - 5y = -m \\
x + y = 1
\end{cases}
\]

- Thay \( y = 1 - x \) vào \( 2x - 5(1 - x) = -m \) để có một phương trình với \( x \):

\[
2x - 5 + 5x = -m \implies 7x - 5 = -m \implies 7x = -m + 5 \implies x = \frac{-m + 5}{7}
\]

Tiếp tục tìm \( y \):

\[
y = 1 - x = 1 - \frac{-m + 5}{7} = \frac{7 + m - 5}{7} = \frac{m + 2}{7}
\]

5. **Hai điều kiện cần thỏa mãn:**
- \( y \geq 0 \) và \( x + y \geq 1 \):
- Từ \( y \geq 0 \):

\[
\frac{m + 2}{7} \geq 0 \implies m + 2 \geq 0 \implies m \geq -2
\]

- Từ \( x + y \geq 1 \):

\[
\frac{-m + 5}{7} + \frac{m + 2}{7} \geq 1 \implies \frac{5 + 2}{7} \geq 1 \implies \frac{7}{7} \geq 1 \implies không có điều kiện.
\]

Vậy ta có:

\[
m \geq -2 \quad \text{và} \quad m \leq 0
\]

6. **Giá trị nguyên của m:**
- Khi kết hợp hai điều kiện trên, ta có \( -2 \leq m \leq 0 \).
- Các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng này là: \( -2, -1, 0 \).

**Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số \( m \).**